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插值与曲线拟合 第一节:插值 插值的目的 已知三角函数表 0.1633 9024’ 0.1616 0.1599 sinx 9018’ 9012’ x 查 9020’ 求函数近似表达式及近似值 一、拉格朗日型插值 1、线性插值 已知数据表 y1 y0 f (x) x1 x0 x x0 ，x1称为插值节点，线性插值多项式（线 性插值函数）为 插值函数要满足： L1(x0) = y0 ; L1(x1) = y1 其中 线性插值基函数 满足: f (x) L1(x) 例1、已知数据表 解： 基函数为 0.82 0.95 f (x) 2 1 x 写出 f(x) 的线性插值函数 , 并求 f(1.5) 的近似值。 线性插值函数为 且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。 二次插值多项式（插值函数）为 二次插值基函数 2、二次插值 已知数据表 y2 x2 y1 y0 f (x) x1 x0 x 满足 二次插值函数仍要满足： L2(xi) = yi , i = 0 , 1, 2 于是，易得： n次插值多项式（插值函数）为 3、n 次插值 已知 y = f(x) 在 n + 1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函 数 y0 , y1 , … , yn 。 其中： n次插值基函数 满足 1、差商： 二、牛顿型插值 称为函数 f(x) 关 于点 x0，x1 的差商。 称为函数 f(x) 关 于点 x0 ，x1 ，x2 二阶差商。 n 阶差商： n - 1 阶差商的差商 各阶差商的计算 f (x3) x3 f [x2 , x3] f [x1 , x2 , x3] f (x2) x2 f [x0 , x1 , x2 , x3] f [x1 , x2] f [x0 , x1 , x2] f (x1) x1 f [x0 , x1] f (x0) x0 三阶差商 二阶差商 一阶差商 f (xi) xi 差商表 2、牛顿型插值多项式 牛顿型插值多项式为 已知 y = f(x) 在 n + 1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函 数 f(x0 ) , f( x1 ) , … , f( xn ) 。则 第二节:曲线拟合 一、最小二乘法 已知 f (x)的一组数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , … , n) , 要求 构造一个函数 , 用 来逼近 f (x)。不要求 通过所有数据点 (xj , yj) , 数据一般有观测误差, 因此 , 曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差。 求 ？ 设 称 为残差。 记 确定 的原则, 使 Q 取得最小值。 求 ？ 曲线拟合的最小二乘法 二、拟合函数 给定 f (x)的数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , … , n) , 用 来拟合函数 f (x) , 其中 为已知的 线性无关的函数，求系数 , 使 在该点处取得最小值 , 称 为拟合函数 或经验公式。 为 求拟合函数 , 由于点 的最小点 , 则 应满足 : 即 亦即 引入记号:对于h(x) 与 g(x) , 记 称为h 与 g 的内积 且 则(*)可写成 : (**) 通过求解方程(**) , 求出 。 三、曲线拟合的步骤 1、确定拟合函数的形式 （1）作出散点图（或进行机理分析）； （2）确定出拟合函数的形式。 2、根据(**)式 , 求出拟合函数(即求出a0 , a1 , … , am） 3、检验（修正 , 重新拟合） 四、多项式拟合 当取 时 , 即 此时, 多项式拟合 因此 , (**) 为 注：当 m = 1 时, 直线拟合 ; 当 m =2 时, 抛物拟合 。 （***） 直线拟合 ：拟合函数 a0 , a1 满足: 抛物拟合 ：拟合函数 a0 , a1 , a2 满足: 例1、已知 解 ：数据点描绘 令 40 28 11 2 yj 8 6 4 2 xj 4 3 2 1 j 则 解之得 故 例2、已知 解 ：数据点描绘 令 则 解之得 故 4 3 2 1 1 2 4 5 10 yj 10 9 8 7 6 5 4 3 1 xj 五、其它形式拟合 ln p = ln A + M x 例3、用形如 p(x) = AeM x 的函数拟合下列数据 记 ：y = ln p , a0 = lnA , a1 = M , 则有 27 17 11 7 pj 4 3 2 1 xj 解：由 p(x) = AeM x 得 且 3.296 2.833 2.398 1.945 yj = ln pj 4 3 2 1 xj