曲线的标准展开.pptVIP

* * §1.6 曲线在一点的标准展开 一．曲线的局部规范形式 按照Taylor展开式的基本思想，曲线的位置向量函数在所指定的任意点邻近都可以用适当次数的多项式向量函数来逼近． 对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) ，任取其上一点 P0: r(s0) ，不妨设 s0 ? 0 ，则有Peano余项形式的Taylor展开式 其中余项 o(s3) 是 s3 的高阶无穷小向量． 若 C 无逗留点，则上式可用Frenet标架表出． 事实上，记 {r(0); T(0), N(0), B(0)} ? {r0; T0 , N0 , B0} , ?(0) ? ?0 , ? (0) ? ?0 ，则易知有 一．曲线的局部规范形式 对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) ，任取其上一点 P0: r(s0) ，不妨设 s0 ? 0 ，则有Taylor展开式 若 C 无逗留点，则上式可用Frenet标架表出． 事实上，记 {r(0); T(0), N(0), B(0)} ? {r0; T0 , N0 , B0} , ?(0) ? ?0 , ? (0) ? ?0 ，则易知有 (5.2)　 　r ?(0) ? T0 , r ?(0) ? ?0N0 ， r ??(0) ? ? ?(0) N0 ? ?0[??0T0 ? ?0B0 ] ． 此式说明：通过对线性无关向量组 { r ?(s), r ?(s), r ??(s)} 进行规范的Schmidt正交化，所得到的标准单位正交基实际上就是Frenet标架基向量组 {T(s), N(s), B(s)}． 一．曲线的局部规范形式 对于 C3 弧长 s 参数化曲线 C: r ? r(s) ，任取其上一点 P0: r(s0) ，不妨设 s0 ? 0 ，则有Taylor展开式 若 C 无逗留点，则 (5.2)　　 r ?(0) ? T0 , r ?(0) ? ?0N0 ， r ??(0) ? ? ?(0) N0 ? ?0[??0T0 ? ?0B0 ] ． 取 {r0; T0 , N0 , B0} 为 E3 的一个新的单位正交右手标架， 所建立的新直角坐标系坐标记为 (x*, y*, z*) ， 则此时曲线 C 的参数方程转化为r* ? r*(s) ? (x*(s), y*(s), z*(s)) ? x*(s)T0 + y*(s)N0 + z*(s)B0 其中 r*(s) ? r(s) ? r0 ． 一．曲线的局部规范形式 由此，将 (5.2) 式代入 (5.1) 式，C 的分量形式即为 (5.2)　　r ?(0) ? T0 , r ?(0) ? ?0N0 , r ??(0) ? ? ?(0)N0 ? ?0[??0T0 ? ?0B0 ] ． r* ? r*(s) ? r(s) ? r0 ? (x*(s), y*(s), z*(s)) ? x*(s)T0 + y*(s)N0 + z*(s)B0 ． 一．曲线的局部规范形式 其中余项 ox*(s3), oy*(s3), oz*(s3) 分别是 s3 的高阶无穷小. 此式称为曲线 C 在点 P0 处的标准展开或局部规范形式，或称为Bouquet公式． 对于挠曲线，其局部规范形式的主要部分确定了一条三次多项式曲线——曲线 C 在 P0 点的局部近似曲线： C*:`r*(s) ? (s , (?0/2)s2 , (?0?0/6)s3) ． 二．曲线的局部近似曲线 挠曲线 C 在 P0 点的局部近似曲线 C*: `r*(s) ? (s , (?0/2)s2 , (?0?0/6)s3) ． 直接计算表明，其位置向量的导数在 P0 点与曲线 C 具有相同的取值． 进一步，曲线 C* 与曲线 C 在 P0 点具有相同的Frenet标架以及相同的曲率值和挠率值（习题）； 这说明它们的几何行为在 P0 点附近也是很接近的 ——在 P0 点的局部近似． 注意：曲线 C* 与曲线 C 的弧长参数并不一定一致（习题），只是上述各取值相同之处一定包含着所考虑的点 P0 而已． 二．曲线的局部近似曲线 但无论如何，从逼近的角度去看，近似曲线的局部形状已经足以反映出原有挠曲线的局部形状． 为观察近似曲线 C*在 P0 点附近的图形，可以通过观察其向Frenet标架坐标面上的投影曲线的图形而进行，从而得到其基本特征． 挠曲线 C 在 P0 点的局部近似曲线 C*: `r*(s) ? (s , (?0/2)s2 , (?0?0/6)s3) ． 曲线 C* 与曲线 C 的弧长参数并不一定一致． 曲线的局部近似图形 向密切平面上的投影曲线为抛物线 C*:`r*(s) ? (s , (?0/2)s2 ,