最大公因式.pptVIP

* 第一章 多项式 * §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式 §10 多元多项式 §11 对称多项式 §3 整除的概念 §2 一元多项式　　　 §1 数环和数域 §7 多项式函数 §9 有理系数多项式 §8 复、实系数多项式 的因式分解 第一章 多项式 §1.1 数环和数域 研究数学问题常常需要明确规定所考虑的数的范围，学习数学也是如此。 比如，先学习自然数，然后整数，再正有理数、有理数、实数、复数。再比如讨论多项式的因式分解、方程的根的情况，都跟数的范围有关。 例如 在有理数范围内不能分解，在实数范围内 就可以分解。 在实数范围内没有根，在复数范围内就 有根。等等。 我们目前学习的解析几何，数学分析都是在实数范围内来讨论问题的。但在高等代数中，通常不做这样的限制。 在代数中，我们主要考虑一个集合中元素的加减乘除运算（即代数运算）是否还在这个集合之中 代数运算：设A是一个非空集合，定义在A上的一个代数运算 是指存在一个法则，它使A中任意两个元素 都有A中一个元素与之对应。 （即运算是否封闭）。 运算封闭：如果集合中任两个元素做某一运算后的结果仍在 这个集合中，则称该集合对这个运算封闭。 例如两个整数的和、差、积仍是整数，但两个整数的商就不一定是整数，这证明整数集对加、减、乘三种运算封闭，但对除法并不封闭；而有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算都封闭。同样，实数集、复数集对加、减、乘、除四种运算都封闭。 根据数对运算的封闭情况，我们把数集分为两类：数环和数域。 一、数环 设S是由一些复数组成的一个非空集合， 如果对 ，总有 则称S是一个数环。 整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集 C都是数环。 例如： 1、除了Z 、Q、R、C外是否还有其他数环？ 问题： 2、有没有最小的数环？ 例1：设a是一个确定的整数。令 定义1： 则S是一个数环。 证明：显然S是C的一个非空子集.现设 , 则, 那么 证明S是一个整环. 说明:在例1中，如果 ，那么S就是全体 偶数组成的 数环特别若 时，那么 是由 单独一个数0组成的数环. 这是最小的数环，称为零环。 问题： 3、一个数环是否一定包含0元？ 4、除了零环外，是否还有只含有限个元素的 数环？ 例2：证明 是一个数环。 问题： 5、除了定义之外，判断一个集合是数环 有没有其他简单的方法？ 证明 S显然非空. ,则 那么 定理1.1.1：设S是一个非空数集，S是数环的充 要条件是S中任两个数的差和积仍在S中。 二、数域 定义2： 设P是一个含有不等零的数的数集，如果P 定义 ： 设P是一个数环，如果 ① P内含有一个非 零数； ② 对 且 ，则 则称P是一个数域。 有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域， 例如： 则称P是一个数域。 中任两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在P中， 且是三个最重要的数域。 问题： 6、数域与数环之间有什么关系？例2中的数 集是不是数域？ 7、除了Q、R、C外，是否还有其他的数域？ 例3：证明 是一个数域。 证明要点： 设 （否则当 矛盾； 当 ，也矛盾）。于是 先证 有一个非零元 对加、减、乘封闭。再证除法封闭： ， 8、一个数域必包含哪两个元素？ 问题： 9、最小的数域是什么？ 定理1.1.2：任何数域都包含有理数域Q。 证明：设P是一个数域，则 于是 对 故 10、在判断一个数集是不是数域时，实际上 问题： 要检验几种运算？ 例4．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一 一个数域． 有 证：由题设任取 所以，P是一个数域． 时, 时, 设P是一个含有非零数的数集，则P 定理1.1.3： 问题： 11、在Q与R之间是否还有别的数域？在R与C 之间是否有别的数域？ 例5：对任意素数P， 是一个数域。 在R与C之间不可能有别的数域。 设有数域P，使 ，故 设x=a+bi，且 数不为零）仍属于P。 是一个数域的充要条件是F中任两个数的差与商（除 （若b=0，则 ，矛盾）。 可见F=C。 问题： 12、设 和 是数环，试问 是不是数环？若是，给出证明， 若不是举出反例。 若 和 是数域情况又如何？ 两个数域的并，不一定是数域，能不能找出两个数域的并是一个数域的充要条件并证明之。 （ 是数域，则 是数域的充要条件是 或 ）。 连加和式常常有初等写法和和号写法。有限和式和无限和式大致相当于有限