机械动力学演示文稿三.pptVIP

* §2-6多自由度系统 一．引言 ●自由度与广义坐标 ○广义坐标：若系统用某一组独立座标（参数）能完全确定系统的运动，则这组 座标称为广义坐标。 “独立”指各坐标都能在一定范围内任意取值，其间不存在函数关系。 “完全”指完全地确定系统在任一时刻的位置或形状。 ○自由度：完全确定系统运动所需的独立座标数目。 一般情况下：自由度=广义坐标数目（除不完全约束系统） 广义坐标可以是长度，角度或某种其它含义，例比例等。 广义坐标不是唯一的，各组广义坐标之间存在确定函数关系。 例：一双摆，质量 限制在图示平面内摆动，可用四个直角坐标 来 描述它的运 动，但这四个直角坐标并不独立，它们满足两个约束条件： 两个是独立的。因此，系统有两个自由度 其广义坐标可选 也可选 与直角坐标之间存在确定关系： 。 [3-1] 一般而言，总可以将系统中各质点的直角坐标表示成广义坐标的函数： 二．多自由度系统的振方程式 确定实际结构动力学模型以及系统质量，刚度，阻尼等参数后，有多种方 法 建立系统运动微分方程。常用：·直接法 ·影响系数法 ·拉格朗日法。 （一）直接法：用达朗伯原理，牛顿二定律直接对系统中各质点建立方程，步骤： （1） 选描述系统运动的独立坐标（广义坐标）。本例选三个质量离开各自平衡位置的位移 为广义坐标。 （2）取分离体，并受力分析。 [3-2] (3)分别对各质量块用达朗伯原理，牛顿二定律直接建立方程： 整理： 写成矩阵形式： 形式上与单自由度系统运动方程相似。由惯性力，阻尼力，弹性恢复力和激振力四项 组成。可推断任何多自由度系统的运动方程有此形式，只是各矩阵具体内容不同。 [3-3] 因此，当选定坐标后，若直接求得质量，阻尼，刚度矩阵，就可按上面方程形式，写出系统运动方程。下面介绍影响系数法。 例N自由度，位移列阵为： 刚度矩阵： （二）影响系数法： （A）刚度矩阵：元素的物理函义，由此函义直接求各元素。 （1） ：使系统的j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移均为0时， 在第i坐标上所需加的作用力的大小，定义为 (2) 反映整个系统刚度（柔度）特性 其中 （刚度影响系数）表示第i坐标与第j坐标之间的刚度相互影响 (3) 由互易原理（材力）， ???? ? ? ? ? ? 对上例直接求刚度矩阵 [3-4] 议论：对此类弹簧-质量-阻尼系统一般有下述规律 刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素 为联结在质量 上所有弹簧刚度（或阻尼系数）之和。 刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素 为直接联结质量 之间的弹簧刚度（或阻尼系数）取负值。 (结果与直接法相同) 一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵。 以系统质心为坐标原点，质量矩阵是对角矩阵。一般情况质量矩阵不一定是对角矩阵 [3-5] 例1：用上述方法求刚度，阻尼，质量矩阵 [3-6] 例2：刚度影响系数法求刚度矩阵 如图质量m为质点与三条刚度系数同为k的弹簧相联互成，并限制在水平面oxy上运动。当它在平衡位置，各弹簧无变形，质点作微幅振动，可视为弹簧方向不变，求系统刚度矩阵。 解：选x,y为广义坐标 a.令位移x=1,y=0 在质点上加沿x方向的广义力 ，沿y方向的广义力 。以质点为分离体，按平衡条件： [3-7] b. 令位移x=0,y=1 在质点上加沿x方向的广义力 ，沿y方向的广义力 。以质 点为分离体，按平衡条件： 对角矩阵（无耦合项) （B）质量矩阵，阻尼矩阵 与刚度矩阵类似，质量矩阵和阻尼矩分别反映了系统惯性和阻尼特性。 质量矩阵：由惯性影响系数 组成。 阻尼矩阵：由阻尼影响系数 组成。 其含义与刚度影响系数类似。只需将位移改为加速度和速度（例：坐标 上有单位速度，其它坐标速度为0，在坐标 上所需施加的力） [3-8] （C）柔度矩阵： 工程中常求如图所示的梁，轴类系统的方程，此类系统刚度矩阵（ ）求法困难，而柔度矩阵（ ）求法容易。 ：柔度影响系数 定义：仅在系统第j坐标上，作用单位力，其它坐标上作用力为0时，在第i坐标上所产生的位移