机械动力学演示文稿四.pptVIP

（二）有阻尼情况： ●模态分析法关键是用模态矩阵为坐标变换矩阵解除方程耦合。 ●无阻尼系统，特征值与特征向量是实数， 是实模态矩阵，求解方便。 ●有阻尼系统，特征值与特征向量是复数， 是复模态矩阵，求解困难得多。 ●一定条件下，有阻尼系统仍可用无阻尼实模态矩阵求解（不介绍有关复模态问题). * 五. 模态分析 n自由度无阻尼系统的自由振动的一般性质： 主振型之间有联系，主要反映在主振型的正交性（重要性质） （一）主振型的正交性： 正交性的证明：任选取两个不同主振型 由特征值问题方程 ： (1) (2) （s≠r） (1)式两端前乘 , (2)式两端前乘 得： （3） （4） 将（4）式两边转置： （5） （3）-（5）式得： （6）式代入（3）式得： [4-1] （6）和（7）说明不同的两个主振型（r阶与s阶）存在着对质量矩阵[（6）式]和刚度 矩阵[（7）式]的正交性。统称主振型的正交性。 若对（1）式两边前乘 得： 因 ，因此二齐次函数（二次型）： [称第r阶主质量或模态质量] [称第r阶主刚度或模态刚度] （r=1,2,…n） (8)两边除 得 上式说明，第r阶固有频率平方 等于第r阶主刚度 与第r阶主质量 的比值（与单自由度公式类似） 归纳如下： [4-2] 主振型正交性: 数学上 “线性独立” （二）主振型正交性的物理意义： “主振型”数学上是一个向量 ，当 为单位矩阵时，是向量的正交性。当向量表示空间有向线段时，是几何上线段“相互垂直”，当向量大于三维时，是相互线性独立性（任一向量不能用其它向量线性表示） 如图车床刀架简化模型，当刀架作微幅振动时，认为这两弹簧彼此独立，经计算系统主振型为： 第一阶主振型，沿坐标原点斜率为 的直线作振动。 第二阶主振型，沿坐标原点斜率为 的直线作振动。 通过证明 （ 两条线段相互垂直） ● 单质点的平面（二自由度）振动和空间（三自由度）振动，主振型的正交性同几 何上方向垂直概念相同。 ● 多自由度多质点系的振动，主振型正交性无法用几何上方向垂直说明。其正交性 只能从能量的观点说明。 主振型正交性：物理意义 [4-3] 说明每一个主振动，动能和势能之和永远是常数。 多自由度系统动能T，势能U表达式： 则： 某一r阶主振动的动能和势能之和为常数： ● 系统振动过程中，每一主振动内部动能和势能 可相互转化，象一独立单自由 度系统一样。 从能量观点：各阶主振动之间相互独立，之 间不会发生能 量传递。 [4-4] 将系统n个主振型 （主模态）每一个作为一列按阶次排列在一个矩阵， 便组成 n阶 方阵 。 （三）模态矩阵（振型矩阵） 称模态矩阵（振型矩阵） 前面已证 因此: 根据正交性：上式= 模态质量矩阵（主质量矩阵） = [4-5] 同样： 可得 模态刚度矩阵（主刚度矩阵） 例：前面求出 模态矩阵 [4-6] 求模态质量矩阵： 求模态刚度矩阵： [4-7] （四）主坐标与模态分析 用 可使 都变成对角矩阵，自然会用 作为变换矩阵，对一般物理坐标系 进行坐标变换： 坐标变换 并在方程两边前乘 得： 展开 (25) 方程（25）是以新的广义坐标 表达， 是模态刚度矩阵， 是模态质量矩阵（都是对角矩阵）。因此用广义坐标 表达的运动方程组是一个互不耦合，相互独立的。这正是坐标变换的目的。 模态分析定义：用由系统各主振型组成的模态矩阵为变换矩阵，对原方程进行坐标变换，可使质量矩阵和刚度矩阵都同时对角线化；得到一组互不耦合的模态方程，其中每一个方程的结构都和一个单自由系统的运动方程相同，可用解单自由度系统的方法分别求解，得多自由度系统的响应。这样一个过程，通常称为模态分析。用这种方法求得的解是各主振型的线性叠加，故又称为振型叠加法。 [4-8] 坐标变换 物理意义：