机械工程控制拉氏变换.pptVIP

考虑： F(s)的部分展开式包括3项： 用(s+1)3乘上述方程两边得： …… 注意到： 所以： 例 求所示象函数的原函数 解：B（s）＝0有 p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根， 所以F（s）,可以展开为： 从而： * 象======》船在水中的刻度《=====石头 Laplace变换和Laplace反变换 曹冲称象的故事： 双变量函数f(s,t)在给定区间对一个变量的有限积分是另外一个变量的函数。 例如：设函数f(s,t)=2st。 1、变换是等价的，可逆的； 2、变换使问题的性质更清楚； 3、变换使问题的求解更方便。 变换的原则与目的： 核心思想：以象为变量问题难以求解，以石头为变量问题可解。 又：函数f(t)=2t,求 。 拉氏变换与拉氏反变换 1、拉氏变换 设函数f(t) (t?0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正实常数?，使得： 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=?+j?（?，?均为实数,且? 0）； 即Re(ｓ)0。 称为拉普拉氏积分； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。 2、拉氏反变换 L－1为拉氏反变换的符号。 3、几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t) 1 0 t f(t) 单位阶跃函数 指数函数 （a为常数） 指数函数 0 t f(t) 1 正弦函数与余弦函数 正弦及余弦函数 1 0 t f(t) f(t)=sin?t f(t)=cos?t -1 由欧拉公式，有： 从而： 同理： 单位脉冲函数?(t) 0 t f(t) 单位脉冲函数 ? 1 ? 由洛必达法则： 所以： 单位速度函数（斜坡函数） 1 0 t f(t) 单位速度函数 1 单位加速度函数 单位加速度函数 0 t f(t) 函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。 常用拉氏变换表 5、拉氏变换的主要定理 叠加定理 齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数； 叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)] a，b为常数； 显然，拉氏变换为线性变换。 实微分定理 证明：由于 即： 所以： 同样有： 当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）： 拉氏变换的微分性质可以用来求解微分方程： 例如：求解微分方程 解：对方程两边取拉氏变换： 整理得： 由于： 所以： 积分定理 当初始条件为零时： 证明： 同样： 当初始条件为零时： 延迟定理 设当t0时，f(t)=0， 则对任意??0，有： 函数 f(t-?) 0 t f(t) ? f(t) f(t-?) 令： 位移定理 例： 初值定理 证明： 所以: 初值定理 初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 终值定理 若sF(s)的所有极点位于左半s平面， 即： 存在。则： 证明： 又由于： 即： 终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。 7、求解拉氏反变换的部分分式法 部分分式法 如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量： F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s) 假定F1(s), F2(s), …，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则： L-1[F(s)] = L-1[F1(s)+F2(s) +…+ Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L1[Fn(s)] 在控制理论中，通常： 为了应用上述方法，将F(s)写成下面的形式： 式中，-p1，-p2，…，-pn为方程A(s)=0的根，称为F(s)的极点；ci=bi /a0 (i = 0,1,…,m)。 此时，即可将F(s)展开成部分分式。 F(s)只含有不同的实数极点 式中，Ai为待定常数。 所以称常数Ai为s = -pi极点处的留数。 例：求 的原函数。 解： 即： 例 求所示象函数的原函数f（t） 解： 其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5 同理：A2=0.5、A3＝－0.6 其反变换为： F(s)含有共轭复数极点 设共轭复数根p1＝α+jω、p2＝ α－jω 例 求所示象函数的原函数: 解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j2 F(s)含有共轭复数极点 考虑： p1＝－1+j2、p2＝－1－j2 F(s)含有重极点 设F(s)存在r重极点-p0，其余极点均不同，则： 式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。