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第10章 考虑材料塑性的极限分析 §10.2 拉压杆系的极限荷载 §10.3 等直圆杆扭转时的极限扭矩 作业: 2-2;2-5 §10.4 梁的极限弯矩 塑性铰 构件受外荷载而变形,当外荷载卸除而恢复的那部分变形称为弹性变形,当外载卸除而不能恢复的那部分变形称为塑性变形。 §10.1 塑性变形 塑性极限分析的假设 (4)通常所指的塑性变形,忽略了时间因素的影响(常温、低应变率）。 塑性变形的特征: (1)变形的不可恢复性是塑性的基本特征。 (2)应力超过弹性范围后,应力-应变呈非线性关系, 叠加原理不再适用。 (3)塑性变形与加载历程有关,应力与应变之间不再是单值关系。 s e 在超过屈服荷载以后, 物体内出现了部分塑性变形。这部分塑性变形改变了物体内的应力分配,使物体的其它部分更多地参加到承担外载中去，从而提高了整个物体的承载能力。因此，需要进行塑性极限分析。 塑性极限分析 受力物体中,在一般情况下应力分布是不均匀的, 如果单凭弹性分析来进行设计,材料的利用率可能较低。 4.材料应力－应变关系为刚性－理想塑性或弹性－理想塑性 为简化计算，通常对塑性极限分析作如下假设： 1.简单加载 2.小变形 3.结构几何形状不变 (a) (b) 当结构由于较大塑性变形而成为几何可变结构时，结构达到了极限状态，计算结构极限状态下的荷载（极限荷载）称为塑性极限分析。 使结构处于极限状态的荷载，称为极限荷载，记为 Fu 。 静定拉压杆系，其中一杆内应力达到材料屈服极限，结构即达极限状态。 超静定拉压杆系，其中多杆应力达到材料屈服极限，结构才达极限状态。 结构内开始出现塑性变形时的荷载，称为屈服荷载， 记为 Fs 。 例题： 超静定桁架如图，三杆的材料相同，弹性模量为E。三杆的横截面面积均为A，承受铅垂荷载F作用。试求结构的屈服荷载 Fs 和极限荷载 Fu 。 图 a 图b 几何相容方程 (3) 物理关系 (4) 解：当F不大时，三杆均处于弹性状态。设三杆的轴力分别为 FN1 ，FN2 和 FN3（图c）,节点A的静力平衡方程 图 c (1) (2) 将（4）代入（3），并与（2）联立求解，即得 (5) (6) 杆3内的应力大于两侧斜杆的应力。若增大荷载F，则中间杆的应力首先达到材料的屈服极限?s ，开始产生塑性变形。这时，结构的荷载为屈服荷载Fs ，由式（5）可得到： 若继续增大荷载，则中间杆的应力保持为?s ，两侧斜杆的应力继续增长。 当荷载大于屈服荷载但小于极限荷载(FsFFu)时，结构处于弹性－塑性状态。这时，由静定平衡条件 (7) 继续增大荷载，当两侧斜杆内的应力达到屈服极限 ?s 时，整个结构进入完全塑性状态而达到极限状态。由静力平衡方程，即得到极限荷载为 (8) 若以?表示三杆铰接点A的铅垂位移，则F与?之间的关系如图d所示。 由式（7）和（8）， 图d 若 ，则 此时的扭矩称为屈服扭矩 Ts ，其值为 等直圆杆在扭转时，可以看成是由半径从0 ?? 的无数薄壁圆筒相套并在两端焊死的一个超静定系统。若其横截面上最大切应力达到了?s ，则横截面任一直径上切应力的变化如图。 (a) 若继续增大扭矩，则随着切应变增大，此直径上各点处的切应力将从周围向中心逐渐增大到 ?s 。 (b) 当截面上各点处的切应力均达到 ?s , 整个截面进入完全塑性状态。这时不需要再增大外力偶矩，圆杆将继续扭转变形，即扭杆达到极限状态。对应的极限扭矩为： 由 可见，考虑了材料的塑性， 同一圆杆所对应的扭矩极限值可以增大33%。 如果这时卸载，即荷载从Tu 变为0，就相当于反向施加外力偶矩 Me= Tu ，则可得横截面上的残余应力如图。 解：当达到极限扭矩时 Tu ，轴横截面每一点处的切应力都达到 ?s （图b），此时 (1) 例题： 试求空心圆截面轴极限扭矩 Tu 与屈服扭矩 Ts 的比值。 D O d (a) (b) 式中, 。 空心圆截面轴的 (2) (3) 矩形截面梁受纯弯曲时，可以看成是无数在梁两端焊死的纵向纤维组成的一个超静定系统。若其横截面上最大正应力达到了 ?s ，则横截面上正应力的变化如图。 此时的弯矩称为屈服弯矩 Ms ，其值为 (a) 当横截面上各处的正应力均达到?s 时，整个截面进入完全塑性状态。