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极限存在准则
第五节 一、 函数极限与数列极限的关系 定理1. 例1. 证明 二、极限存在准则 例2. 证明 2. 单调有界数列必有极限 例3. 设 根据准则 2 可知数列 *3. 柯西极限存在准则(柯西收敛原理) 三、 两个重要极限 例8. 求 例10. 求 例12. 求 例13. 确定c,使 例14. 设 内容小结 2. 两个重要极限 思考与练习 * 二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第一章 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. 有定义, 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 1 知 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 准则II:函数极限存在的夹逼准则 定理2. 且 1. 夹逼准则 准则I:数列极限存在的夹逼准则 证: 利用夹逼准则 . 且 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 证明略 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明数列 极限存在 . 证: 利用二项式公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 大 正 又 比较可知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 原题 目录 上页 下页 返回 结束 又 数列 极限存在的充要条件是: 存在正整数 N , 使当 时, 证: “必要性”. 设 则 时, 有 使当 因此 “充分性” 证明从略 . 有 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 注 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 例5. 求 例6. 求 说明: 计算中注意利用 例7. 求 证: 当 时, 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 则 从而有 故 说明: (1) 时, 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9. 求 解: 原式 = 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 求 解: 说明:对于任何整数k,总有 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:利用 来计算极限时,常遇到形如 的函数,称幂指函数。如果 解: 由于 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以,2c=ln4, c=ln2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 存在,并求此极限值。 解:因 又 所以,数列{xn}单调有界. 因此,极限存在. 假设xn为单增数列 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 令极限 则有 舍去负值,所以 的不同数列 1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则 法1 找一个数列 且 使 法2 找两个趋于 及 使 不存在 . 函数极限存在的夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 填空题 ( 1~4 ) 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 平方关系: 和差角公式: 三角函数公式: 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 和差化积公式: *
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