极限存在性定理与两个重要极限.pptVIP

* 第二章 极限与连续 2.5 极限存在性定理 与两个重要极限 一、极限存在性定理 1、夹逼定理： 设在 恒有: 且有 则极限 存在，且 注： （1）对极限的其他5种情形，也有类似的结论成立 如 在 时，恒有： 且 则极限 存在， 且 （2）对于数列的极限也有类似的夹逼定理成立，即： 若存在正整数 当 时，有 且 则 存在，且 例1：求下列极限 ① ② 利用夹逼定理可求极限 2、数列有界性、单调性的定义 定义：设有数列 （1）如果 则称数列 有界. （2）如果 则称数列 是单 调增加的. （3）如果 则称数列 是单 调减少的. 特别地：若 则称数列 有上界. 若 则称数列 有下界. 3、数列极限存在准则 定理：单调有界数列必有极限. （1）单调增加数列有上界，则极限存在. （2）单调减少数列有下界，则极限存在. 注： 二、两个重要极限 1、 o c B D A x 证明： 夹逼定理 注： （1）当 是等价的无穷小量 与 即 （2） （3） 即当 与 是等价的无穷小量. 例2：求 结论：① 即当 是 与 等价的无穷小量.（ 即当 与 是等价的无穷小量. ③ ② 例3： 的应用举例. ① ② ③ 替换定理：求两个无穷小量之比的极限，可用它们 的等价无穷小量之比来代替. 注： ①无穷小量的替换只能在乘除关系中，不能用于加减关 系的无穷小量； ②替换的一定是等价无穷小量； ③用形式简单的替换复杂的. 则 存在，且 即: （1）在同一过程中， 都是无 穷小量 （2） （3） 存在； ① ② ③ ④ ⑤ 在 的过程中，常用的等价无穷小量 注：②的下述做法正确吗？为什么？ 错，因为替换定理不能用于 加减关系 错，因为不满足极限四则运算的条件 例4： 替换定理的应用举例. ② ① ③ ④ 2、 注：⑴该极限的特征有四点：一是底数第一项为1， 二是底数第二项在 时趋于0，三是指 数在 时趋于∞，四是底数的第二项与 指数互为倒数. ⑵ ⑶ ⑷本重要极限的其他等价形式 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例5： 的应用举例. ① ② ③ ④ 一般地，求幂指函数 极限时. 若 则： 例6：求 形如 的函数，称为幂指函数. 三、幂指函数的极限 *