极限存在准则两个重要极限.pptVIP

evalf(exp(1),10); evalf(exp(1),100); 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999 59574966967627724076630353547594571382178525166427 evalf(exp(1),1000); evalf(exp(1),3000); 现求 先求 令 则 选学 先求 令 则 再求 令 x = - t 则 因为 所以 * October, 2004 1.6 (2) 两个重要极限 二、两个重要极限 1. 重要极限 是偶函数 是 型 It seems that 因为 x ?0, 设 x 满足 首先假定 作图 由图形可知 x 是弧度 因此 或 现在设 则 于是 仍有 得到 因为 由夹逼定理，我们得到极限： 我们已经成功地将 sinx/x 夹在 cosx 和 1 之间 图形 with(plots):M:=4: A:=plot(sin(x)/x,x=-M..M,y=-1..2): B:=plot(cos(x),x=-M..M,y=-1..2,color=blue): C:=plot(1,x=-M..M,y=0..1.2,color=brown): display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3); back 注 由 得 若 仍有 所以 同理 例 求 解 例1 求 解 with(plots):M:=Pi/2: A:=plot(tan(x),x=-M..M,y=-5..5): B:=plot(x,x=-M..M,y=-5..5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3); 例2 求 解 推论 with(plots):M:=5: A:=plot(1-cos(x),x=-M..M,y=-.51..3): B:=plot(x^2/2,x=-M..M,y=-.51..3,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3); 例 求 解 或令 with(plots):M:=2: A:=plot(x*sin(1/x),x=-M..M,y=-1.5..1.5): B:=plot(1,x=-M..M,y=-1.5..1.5,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=2); 例 3 求 解 令 with(plots):M:=1: y1:=-Pi/1.9:y2:=Pi/1.9: A:=plot(arcsin(x),x=-M..M,y=y1..y2): B:=plot(x,x=-M..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=constrained,thickness=3); 应从本质上认识这个极限 《学习指导》p.23 课内练习 解 with(plots):M:=20: y1:=-Pi:y2:=Pi: A:=plot(sin(x)/x,x=0..M,y=y1..y2): B:=plot([1/x,-1/x],x=0.1..M,y=y1..y2,color=blue): display(A,B,scaling=unconstrained,thickness=2); 2. 重要极限 是幂指函数 先考虑数列极限： 将括号中分母的 n 换为 n+1 (1) {xn}的单调性 (2) {xn}的有界性 故 {xn}有界 存在 且 记 Swiss mathematician 1737年， Euler证明：e 是无理数 1873年， Hermite证明：e 是超越数（不是代数方程的解） * October, 2004