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格林函数法
*6.7 混合问题的格林函数6.7.1 初值齐次第一边值问题一维波动方程 6.7.2 初值非齐次第一边值问题一维波动方程 计算细节 第六章 格林函数法结束 [2]208;[3]201; [2]203;利用第四章结果; 4.1.1 有界弦自由振动; 1、推导结果正确; 2、按格林函数定义,证得公式满足初始条件和微分方程; 3、另一方面,由于实际的格林函数(采用固有函数展开)不具有奇异性,该公式既是形式解又是近似解; 奥秘在那里? [3]199; [2]195; [2]95,98;x,类似cosγ; [2]203; 4.1.1 有界弦自由振动; 奥秘在那里? 正确; 固有函数展开不能求此非齐次边值问题,详细写出此边界项,作业6-7 ; [2]195;固有函数展开不能求此非齐次边值问题; 两边同乘固有函数并积分; 此解满足齐次微分方程,并满足积分形式的非齐次方程; 此解满足齐次微分方程,并满足积分形式的非齐次方程; 此解满足齐次微分方程,并满足积分形式的非齐次方程; [2]203; 183;基本解的三种可能定义; [1]183; [2]203; t0;基本解中含一维广义函数; 黄泊,证毕于2007年8月2日星期四下午5时41分; 简明精彩! 183; [2]203; 40; 187; 187; [1]187; [2]203; 194,F16; [2]200; [1]194,F表,16; [2]196; [2]196; 正确,M0为积分变量; 好,简明而精彩!此法可以推广到 n 阶时间导数问题; 按 6.7.2 小节格林函数的定义,初始条件可写为 [1]135;高斯公式,证明见预备知识; [1]173;x,x0都在D内; 173; [1]175;方向导数是对积分变量而言的; [1]174; [1]178;[2]291; [1]179;291; [1]180,293; [1]181;如直线或平面边界问题; 182; [1]183; 奥秘在那里? 187; 直角坐标系;M0在x轴上,证得G=0; 先求齐次通解;[2]175也可用傅氏变换法求三维拉普拉斯方程的基本解,广义函数法; 先求齐次通解;也可用傅氏变换法求二维拉普拉斯方程的基本解; 位势无界问题; 第二格林公式; 本章之重点,2007年12月12日星期三; [1]176; [1]169; ; 格林函数; [2]177; 作业6-2,正确;此解满足齐次微分方程,并满足积分形式的非齐次方程;先求齐次通解; 定理应用 求三维非齐次热传导方程初值问题 的解。 将三维基本解U代入相应的积分表达式,可得 与第五章积分变换的相应结果一致,并增加了非齐次项。 格林函数的定义 定义 称定解问题 的解G(x,t;ξ,τ)为波动方程 初边值问题的格林函数。 格林函数问题 设 G 为格林函数,求一维波动方程初边值问题的格林函数,即求初边值问题 解 两端固定有界弦自由振动问题 用分离变量法或固有函数展开法,可得 将格林函数的初始条件代入,可得 定理 设G是波动方程初边值问题的格林函数, φ(x,), ψ (x,), f (x,t)都是连续函数,则非齐次波动方程初边值问题 的解的积分公式为 。 证明 可知初值条件得到满足。 可知非齐次方程也得到满足,又因格林函数满足齐次边值,证毕。 定理的应用 利用格林函数,求一维非齐次波动方程初边值问题 解的级数表达式。 代入解的积分表达式 将格林函数 整理后,可得级数形式的解 与第四章分离变量的相应结果一致,并增加了非齐次项。 一维热传导方程格林函数的定义 定义 称定解问题 的解G(x,t;ξ,τ)为热传导方程 初边值问题的格林函数。 格林函数问题 设 G 为格林函数,求一维热传导方程初边值问题的格林函数,即求初边值问题 解 若长为 l 的均匀细杆,侧面保持绝热,两端置于零度,杆的温度分布可归结为下列定解问题 用分离变量法可得 将格林函数的初始条件代入,可得 定理 设G是热传导方程初边值问题的格林函数, φ(x,), f (x,t)都是连续函数,则非齐次热传导方程初边值问题 解的积分公式为 。 证明 可知初值条件得到满足,非齐次方程也得到满足。 定理的应用 利用格林函数,求一维非齐次传导方程初值问题 解的级数表达式。 代入解的积分表达式 将格林函数 整理后,可得级数形式的解 与第四章分离变量的相应结果一致,并增加了非齐次项。 格林函数的定义 定义 称定解问题 的解G (x,t;ξ,τ)为波动方程 初边值问题的格林函数。 两种定义的比较 第一种:6.7.1 格林函数满足定解问题 第二种: 6.7.2 格林函数满足定解问题 利用齐次化原理,可得到格林函数(第二种)的表达式 格林函数问题 设 G 为格林函数,求一维波动方程初边值问题的格林函数,即求初边值
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