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概率论与数理统计 教材：《概率论与数理统计教程》，魏宗舒 等编，高等教育出版社 第一章 随机事件及其概率 三 、事件的关系 1.包含关系（子事件）(p5)： A发生必导致B发生，记为A?B 相等关系（p6）：A＝B ? A?B且B?A. 四、事件的运算律(p5) 练习 1 .写出随机试验E的样本空间、样本点及所列出的随机事件 （1）掷一颗骰子.A={出现偶数点}； （2）5件产品中有一件废品，从中任取两件.B={从中任取两件得一件废品}； （3）向xoy面上的单位圆内投点.C={投点落在单位圆内} 2.某地区有1000人是1925年出生的，E：考察到2005年还有几个人活着。 （1）写出E的样本空间； （2）设A={只有10个人活着}，B={至少有30个人活着}，C={最多有5个人活着}，问：A与B、A与C、B与C是否互不相容？A、B、C的对立事件是什么？ 1.2 概率与频率 1.3 古典概型 例1.6：在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1、2、…、10，从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。 1.4 几何概率 一、几个例子 例1：某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待时间短于10分钟的概率(半点报时)。 例2：如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？ 二、定义 若记A={在区域S中随机地任取一点，而该点落在区域g中}，则 例1.11：甲乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去。求两人会面的概率。 三、几何概率的基本性质 （1）0 P(A) 1； （2）P( S)＝1；P( )=0； （3）若，A1,A2,…An…两两互不相容，则 （可列可加性）。 1.5 概率的公理化定义 一般地，设A、B是S中的两个事件，P(A)0,则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条 件概率。 例：设某一工厂有A、B、C三个车间，他们生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺钉总产量的25﹪,35 ﹪,40 ﹪,每个车间的次品率分为5 ﹪，4 ﹪，2 ﹪。求（1）从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品的概率；（2）如果从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品，那么它是车间A生产的概率。 解：A1={是A车间生产的}，A2={是车间B生产的}，A3= {是C车间生产的}，B={从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品}。 （1） （2） 1.7事件的独立性 一、两事件独立 二、多个事件的独立 三、事件独立性的应用 1.8贝努里概型 一、贝努里试验 2、定理：在贝努里试验中，A发生的概率为 ，则在n次独立重复试验中，A恰好发生k次的概率为 二、应用 例1.24（P49）：金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率为多大？ 例1.25：某大学校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛。校队的实力较系队较强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6。现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人。三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪一种方案有利？ 三、练习 1、某电灯泡使用时数在1000以上小时的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后，最多只有一个坏的概率。 2、设有5门高射炮同时独立地向敌人射击一发炮弹，每门炮射击一发炮弹而击中飞机的概率均为0.6，若至少有2发炮弹击中敌机，敌机才被击落，求敌机被击落的概率。 这一类概率称为几何概率。 解：以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间，则两人能够会面的充要条件为 在平面上建立直角坐标系如图， 则 15 60 15 60 Y=x+15 Y=x-15 1.定义(p29) 若对随机试验E所对应的样本空间?中的每一事件A，均赋予一实数P