概率论下.pptVIP

* 我们将研究两类随机变量： 如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等. 随机变量 离散型随机变量 连续型随机变量 例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等. 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自的特点. 离散型随机变量的概率分布 从中任取3 个球 取到的白球数X是一个随机变量 . 看一个例子: (1) X 可能取的值是0,1,2 ; (2) 取每个值的概率为: 其中 (k=1,2, …) 满足： k=1,2, … （1） （2） 定义2 ：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称 为离散型随机变量 X 的分布律. 用这两条性质 判断一个函数 是否是分布律 定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多个或可列无限多个, 则这种随机变量称为离散型随机变量 . 离散型随机变量表示方法 （1）公式法 （2）列表法 X 例 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 解： X可取值为0,1,2 ; P{X =0}=(0.1)(0.1)=0.01 P{X =1}= 2(0.9)(0.1) =0.18 P{X =2}=(0.9)(0.9)=0.81 常表示为： 这就是X的分布律. 如前例：某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射出３次，求３次命中目标次数为k的概率，k=0,1,2,3。 令X={三次中命中目标的次数}，则题意要求 P{X=k}, k=0,1,2,3. 这是三重伯努利试验，因此 这就是X的分布律. 常见分布 1、（0-1）分布：（也称两点分布） 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为： 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次. X的分布律是： 2. 二项分布(伯努利分布) 令X 表示3次中出现“4”点的次数 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“是正品”，“是次品” 一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的 结果：A 或 . 这样的试验E称为伯努利试验 . 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 . “重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各 次试验的结果互不影响 . 用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，在每次试验中事件Ａ发生的概率为p(0p1)，则Ｘ的可能取值为0,1,2,…,n，且 易证： （1） 称X 服从参数为n和p的二项分布，亦称伯努利分布, 记作 X~B(n,p) （2） 例1 已知100个产品中有5个次品，现从中无放回地 取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率. 请注意：本例中的“无放回”, 那么各次试验条件就不同了, 此试验就不是伯努利试验 . 此时, 只能用古典概型求解. 例2　按规定，某型号电子元件的使用寿命超过1500小时为一级品，已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机抽查20只，问20只元件中恰有k(k=0,1,2,…,20)只为一级品的概率为多少？ 本题中，虽然不放回抽样，但是由于样本庞大，抽出的20可忽略不计，虽有误差，但仍可看作独立事件。检查一个元件看作一次试验，检查20只相当于20重伯努利试验。 伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； 可以简单地说，二项分布描述的是n重伯努利试验中事件 A 出现的次数 X 的分布律 . （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或 ， （3）各次试验相互独立. 且 P(A)=p ， ； 注：通常，对于n, p固定， X~B(n,p),都会随着X=k的增加，图形先增加到最大值随后减小。 对于 p固定，随着n的增加， B(n,p)的图形趋于对称。 考虑比值 当k(n+1)p时，pk-1pk；当k(n+1)p时pk-1pk 。 记k0 =(n+1)p ，则当kk0时，pk单调增加； 当kk0时， pk单调减少, pk在k0达到最大值。 当(n+1)p为整数时， pk和pk-1都取得最大值， k0称为最可能成功次数。 3. 泊松分布 设随机变量X的概率分布为： 其中λ0 是常数,则称 X 服从参数为λ的泊松 分布,记作X~π(λ). 此分布常见于稠密性问题。