概率论与数理统计之().pptVIP

ch72 无偏 Ch7-* §7.2 点估计的评价标准 对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题 应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏? 常用 标准 (1) 无偏性 (3) 一致性 (2) 有效性 §7.2 定义 设 是总体X 的样本 是总体参数?的估计量 则称 是? 的无偏估计量. 存在, 都有 且对于任意 无偏性 是总体X 的样本, 证明: 不论 X 服从什么分布, 是 的无偏估计量. 证 例1 设总体X 的 k 阶矩 存在 因而 由于 例1 特别地 样本二阶原点矩 是总体 是总体期望 E( X ) 的 样本均值 无偏估计量 的无偏 二阶原点矩 估计量 例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 (n 1) . (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. 证 前已证 证明 例2 因而 故 证毕. 例3 设 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n 1 , 求 p 2 的无偏估计量. 解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质, 只要将未知参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量. 令 例3 因此, p 2 的无偏估计量为 故 都是总体参数? 的无偏估计量, 且 则称 比 更有效. 定义 设 有效性 有效 例4 设总体 X，且 E( X )=? , D( X )=? 2 为总体 X 的一个样本 证明 是 ? 的无偏估计量 (2) 证明 比 更有效 证 (1) 例6 (1) 设常数 (2) 而 结论 算术均值比加权均值更有效. 例如 X ~ N( ? ,? 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本. 都是? 的无偏估计量 由例4(2) 知 最有效. 例5 设总体 X 的密度函数为 为 X 的一个样本值. 求? 的极大似然估计量, 并判断它是否是 无偏估计量. 为常数 解 由似然函数 例7 Ch7-*