概率论与数理统计一章.pptVIP

第三章 多维随机变量及其分布 1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布 定义(离散型) . , 2 , 1 , } { } , { } { 的条件分布律 条件下随机变量 为在 X y Y i p p y Y P y Y x X P y Y x X P j j ij j j i j i = = = = = = = = = , 0 } { , , ) , ( 则称 若 固定的 对于 是二维离散型随机变量 设 j Y P j Y X = · L 同理可定义 . , 2 , 1 , } { } , { } { , 0 } { , 的条件分布律 条件下随机变量 为在 则称 对于固定的 Y x X j p p x X P y Y x X P x X y Y P x X P i i i ij i j i i j i = = = = = = = = = = · L 解 求Y=1 时X 的条件分布. 例1 已知分布律： 因此在Y=1的条件下X的分布律为 例2 某射手进行射击,命中为p(0p1), 射击到击中目标两次为止. 以X 、 Y分别表示到第一、二次击中目标所进行的射击次数.试求X和Y 的联合分布律及条件分布律. 解 P{X=m,Y=n}=[p(1-p)m-1 ][p(1-p)(n-m-1) ] . 1 , , 2 , 1 ; , 3 , 2 , 1 - = = - = n m n p q L L 其中 再求条件分布律 因为 二、连续型随机变量的条件分布 定义 连续型随机变量的条件概率密度 同理 密度 的条件概率 下 求导得在条件 两边关于 X y Y x = 由此得条件概率密度定义 . ) ( ) , ( ) ( , ) ( ) , ( , 0 ) ( , ). ( ) , ( ), , ( ) , ( y f y x f y x f X y Y y f y x f y f y y f Y Y X y x f Y X Y Y X Y Y Y = = 记为 的条件概率密度 的条件下 为在 则称 对于固定的 若 的边缘概率密度为 关于 的概率密度为 设二维连续型随机变量 因此有 说明 联合分布、边缘分布、条件分布的关系? 联合分布 边缘分布 条件分布 联合分布 解 不存在. 其它. 例3 设 (X,Y) 的联合密度为 正确解法 其它. 于是 具有概率密度 机变量 若二维随 其面积为 是平面上的有界区域 设 例 ) , ( . , 4 Y X A G ( ) . , 1 ) , ( 2 2 y x f y x Y X Y X 概率密度 求条件 上服从均匀分布 在圆域 设 ￡ + 又知边缘概率密度为 ( ) ? ? ? í ì - ￡ ￡ - - - = - p p . , 0 , 1 1 , 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 其它 y x y y y = ) ( y x f Y X 解 的概率密度 因为随机变量 ) , ( Y X ). ( . ) 1 , ( , ) 1 0 ( , ) 1 , 0 ( 5 y f Y x Y x x X X Y 的概率密度 求 上随机取值 在区间 数 时 当 上随机取值 在区间 设数 例 = 解 的概率密度 由题意知 X ? ? ? í ì - = . , 0 , 1 0 , 1 1 ) ( 其它 y x x x y f X Y 的条件概率密度 Y §4. 相互独立的随机变量 1. 定义 设 F(x, y), FX(x), FY(y)分别为二维随机变量(X, Y)的(联合)分布函数和边缘分布函数，若对于所有x、y有： F(x, y)＝ FX(x)·FY(y) 即： P{X?x, Y?y}=P{X ?x} · P{Y ?y} 则称X与Y相互独立。 2. 定理：设 f(x, y), fX(x), fY(y)分别为连续 型二维随机变量(X, Y)的(联合)密度函数和边缘 密度函数，则 X、Y相互独立 ? f(x, y) ＝ fX(x) fY(y) 例6.已知(X, Y)的联合分布函数F(x, y)如下, 求： (1). (X, Y)的联合概率密度及边缘密度。 (2). 判断X、Y是否相互独立？ 0 x0或y0 xy 0?x?1, 0?y?1 y x1 0?y?1 x