概率论与数理统计之0.pptVIP

每周一题9 §3.3 二维随机变量的条件分布 —— 将条件概率概念推广到随机变量 设二维离散型r.v.( X ,Y )的分布 若 则称 为在 X = xi 的条件下, Y 的条件分布律 二维离散 r.v.的条件分布律 §3.2离散条件分布 若 则称 为在 Y = yj 的条件下X 的条件分布律 类似乘法公式 类似于全概率公式 例1 把三个球等可能地放入编号为1, 2, 3 的三个盒子中, 每盒可容球数无限. 记 X 为落入 1 号盒的球数, Y 为落入 2 号盒的 球数，求条件分布 例1 P (X = i | Y = 0 ) P (Y = j | X = 2 ) 解 先求联合分布， 其联合分布与边缘分布如下表所示 X Y pij 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 pi? 1 p? j X 0 1 2 3 Y 0 1 由此得条件分布 例2 一射手进行独立射击, 已知每次击中目 标的概率为 p ( 0 p 1 ), 射击一直进行到 击中两次目标为止. 令X 表示他首次击中目 标所进行射击的次数, Y 表示他总共进行射 击的次数. 求X 和Y 的联合分布律、条件分 布律和边缘分布律. 解 —— 第n 次击中目标,前 n – 1 次恰 有一次击中目标 例2 边缘分布律为 故联合分布律为 条件分布律为 对每个n , 对每个m , 二维连续型 r.v.的 条件分布和条件密度 连续条件分布 当X 连续时, 条件分布不能用 来定义, 因为 , 来定义. 而应该用 x y - ?y y ?y 设 x y -?y y 若 f (x,y) 在点(x, y) 连续, f Y (y)在点 y 处连续且 f Y (y) 0, 则称 为Y = y 的条件下X 的条件分布函数, 记作 定义 类似地, 称 为X = x 的条件下Y 的条件分布函数; 为X = x 的条件下Y 的条件概率密度函数. 称 为Y = y 的条件下X 的条件概率密度函数. 称 注意 y是常数, 对每一 fY (y) 0 的 y 处, 只要 符合定义的条件, 都能定义相应的函数. 相仿论述. 仅是 x 的函数, 类似于乘法公式： 类似于全概率公式 类似于Bayes公式 例3 已知(X,Y )服从圆域 x2 + y2 ? r2 上的均匀 分布,求 r 解 ? ? x -r = 例3 同理， 边缘分布不是均匀分布！ 当 – r y r 时， ? ? y — 这里 y 是常数，当Y = y 时， 当 – r x r 时， — 这里 x 是常数，当X = x 时， ? ? x 例4 已知 求 解 例4 同理， 例5 设 求 解 y = x 1 1 例5