概率论与数理统计之1.pptVIP

* 第四章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述随机变量的统 计特性, 但实际应用中, 有时并不需要知道 分布函数而只需知道随机变量的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如： 考察一射手的水平, 既要看他的平均 环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否 小, 即数据的波动是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的 某些数值，虽不能完整地描述随机变量， 但能清晰地描述随机变量在某些方面的重 要特征 , 这些数字特征在理论和实践上都 具有重要意义. r.v.的平均取值 —— 数学期望 r.v.取值平均偏离平均值的情况 —— 方差 描述两个 r.v.之间的某种关系的 数 —— 协方差与相关系数 本 章 内 容 随机变量某一方面的概率特性 都可用数字来描写 §4.1随机变量的数学期望 加 权 平 均 初 赛 复 赛 决 赛 总 成 绩 算术 平均 甲 乙 90 85 53 228 76 88 80 57 225 75 胜者 甲 甲 乙 甲 甲 3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲 乙 乙 引例 学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负 §4.1 为这 3 个数字的加权平均 称 数学期望的概念源于此 设 X 为离散 r.v. 其分布为 若无穷级数 其和为 X 的数学期望 记作 E( X ), 即 数学期望的定义 定义 绝对收敛, 则称 设连续 r.v. X 的 d.f. 为 若广义积分 则称此积分为 X 的数学期望;记作 E( X ), 即 数学期望的本质 —— 加权平均 它是一个数不再是 r.v. 定义 绝对收敛, 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) 例1 例2 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 解 例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 例2 常见 r.v. 的数学期望（P159） 分布 期望 概率分布 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为 但 发散 它的数学期望不存在! 设离散 r.v. X 的概率分布为 若无穷级数 绝对收敛，则 设连续 r.v. 的 d.f. 为f (x) 绝对收敛, 则 若广义积分 r.v.函数 Y = g(X ) 的数学期望 设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为 Z = g(X ,Y ), 绝对收敛 , 则 若级数 设连续 r.v. (X ,Y )的联合 d.f. 为 f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 绝对收敛, 则 若广义积分 例3 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求 的数学期望. 解 例3 解 (1) 设整机寿命为 N , 五个独立元件,寿命分别为 都服从参数为 ? 的指数分布，若将它们 (1) 串联； (2) 并联 成整机，求整机寿命的均值. （P.142 例6） 例4 例4