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概率论与数理统计华工版
1)、非负性 对任一事件A有:0≤P(A)≤1 2)、规范性 P(Ω)=1??????????? 3)、可加性 若事件A与B互斥,则P(A+B)=P(A)+P(B) 概率的性质 对于n个两两互斥的事件A1,A2,…,An,有 P(A1+A2+…+An)=?P(A1)+P(A2)+…+P(An) 如果构成互斥完备群,则P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1 对一列两两互斥的事件A1,A2,…,An,…有 4)、P(Φ)=0 证明:对任一事件A,A=A+Φ 则P(A)=P(A+Φ)=P(A)+P(Φ)∴P(Φ)=0 证明: 6)、对于任意事件A,有P( A )=1-P(A) 证明: 7)、对于任意事件A、B,有P(A-B)=P(A)-P(AB) 证明: 8)、对于任意事件A、B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) 证明:∵A∪B=A+(B-AB) ∴P(A∪B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB) =P(A)+P(B)-P(AB) 小概率原理 若在某试验中,事件A的概率非常接近于零。那么可以实际推断,若进行一次该试验,在试验的结果中事件A是不会出现的。从而实际上可将A看作是(实际)不可能事件。 即:小概率事件在一次试验中是不会发生的。 §1.5 古典概型 古典概型的随机试验要求满足下两条件: 有限性。只有有限多个不同的基本事件。 等可能性。每基本事件出现的可能性相等。 投掷一枚匀质的硬币,观察哪一面向上 在装有5个白球,6个蓝球的盒中随机抽取三个球 在古典概型中,如果基本事件(样本点)的总数为n,事件A所包含的基本事件(样本点)个数为r(r≤n),则定义事件A的概率P(A)为r/n。即 古典概率 例1:投掷一颗匀质骰子,求事件A={出现偶数点}的概率? 解: ei 出现第i点 样本空间U={e1,e2,e3,e4,e5,e6},即n=6 A={e2,e4,e6},即r=3 故 概率计算 例2:袋中有三个白球两个红球,从袋中任取两个球,求以下事件的概率: (1) A={取得两个都是白球} (2) B={取得两个都是红球} (3) C={取得一个白球一个红球} (1)袋中有三个白球,从袋中取两个白球有 种取法。即A包含的基本事件个数 。 于是, 解:袋中有五个球,任取两个共有 种取法,即基本事件总数 。 (3)袋中有两个红球,三个白球,故从袋中取一红一白有 种取法,C包含的基本事件个数 。于是, (2)从袋中取得两个红球,只有一种取法。即B包含的基本事件的个数r=1。 于是, 例3:某车间有男工7人,女工4人,现要选三个代表前往先进单位参观学习,问3个代表中至少有一个女工的概率是多少? 例4、(抽球类型)袋中有a个黄球,b个白球,从中接连任意取出k个球(k≤a+b),且每次取出的球不再放回去,求第k次取出的球是黄球的概率? 分析:样本点就是从a+b中有次序地取k个球的不同取法;第k次取出的球是黄球意味着:第k次是从a个黄球中取出一球,再在a+b-1个球中取出k-1个球。 解法一: 注:本结论说明按上述规则抽签,每人抽中黄球的机会相等,同抽签次序无关。 解法二: 例5:n个质点在N个格子中的分布问题。设有n个不同质点,每个质点都以概率1/N落入N个格子(N≥n)的每一个之中,求下列事件的概率: 1) A:指定n个格子中各有一个质点; 2)B:任意n个格子中各有一个质点; 3)C:指定的一个格子中恰有m(m≤n)个质点。 解:每一个质点可以落入N个格子中的任一个,即n个质点共有Nn种分布。故基本事件总数为Nn 1)、A事件包含的样本点数: 在n个格子中放有n个质点,且每格有一个质点,共有n!种不同方法;因此,A事件包含的样本点数为n! 则 2)、B事件包含的样本点数: 选取n个格子共有 种不同的方法;在n个格子中放n个质点,且每格有一个质点,共有n!种不同方法;因此,B事件包含的样本点数为n! 则 (3)C事件包含的样本点数: m个质点可从n个质点中任意选取,共有 种不同方法。余下n-m个质点任意放在余下的N-1个格子中,共有(N-1)n-m种不同方法;因此,C事件包含的基本事件数为(N-1)n-m 则 某班级有n个人(n≤365),问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大? 例6 解 例7(超几何分布) 在一批总量为N件的产品中有N1件是次品,N2件是正品。今从中取出n件,求恰有k件次
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