概率论与数理统计之8.pptVIP

每周一题7 每周一题8 * §2.5 随机变量函数的分布 方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件 §2.4 求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律 问题 已知随机变量 X 的密度函数 或分布律 设随机变量 X 的分布律为 由已知函数 g( x)可求出随机变量 Y 的 所有可能取值，则 Y 的概率分布为 离散型随机变量函数的分布 离散型 例1 已知 X 的概率分布为 X pk -1 0 1 2 求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律 解 Y 1 pi -3 -1 1 3 例1 Y 2 pi 1 0 1 4 Y 2 pi 0 1 4 例2 已知 X 的概率分布为 其中 p + q = 1, 0 p 1, 求 Y = Sin X 的概率分布 解 例2 故 Y 的概率分布为 Y pi -1 0 1 已知 X 的密度函数 f (x) 或分布函数 求 Y = g( X ) 的密度函数 连续性随机变量函数的分布 连续性 解 题 思 路 例3 已知 X 密度函数为 为常数，且 a ? 0, 求 fY ( y ) 解 当a 0 时， 例3 当a 0 时， 故 例如 设 X ~ N (? ,?2) , Y = a X +b, 则 Y ~ N ( a? +b, a2?2 ) 特别地 ，若 X ~ N ( ? ,? 2) , 则 例4 X ~ E (2), Y = – 3X + 2 , 求 解 例4 例5 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y) 解一 从分布函数出发 [ y y [ 当 时，FY (y) = 0 当 y 0 时， ] [ 例5 故 解二 从密度函数出发 y 即 当 y 0 时 当 y 0 时 y 故 此答案是否 对 ？ 应修正为 一般地 y x1 x2 x3 y = g(x) x ? xn 特别地，若g(x)为单调函数，则 y = g(x) x y x1 其中x1= g 1(y) 例6 设 求 f Y (y) x y (1 - y)3 解 例6 例7 设 X 的概率密度函数为 求 的概率密度函数 解 故当 y ? 0 或 y ?1 时 y ? f Y (y) = 0 x ? 1 0 y ? 由图可知, Y 的取 值范围为(0,1) 例7 y ? arcsiny ? - arcsiny ? 1 x 0 当 时 故 注意 连续随机变量的函数的分布 函数不一定是连续函数 例如 X ~ U (0,2) 令Y=g (X) x y 1 FY (y)不是连续函数 设随机变量 服从(0,1)内均匀分布, 又 其中 求随机变量 的概率密度. 第 7 周 问 题 * *