概率论与数理统计华工版第3章.pptVIP

第3章 随机变量 随机变量的概念 一维随机变量及其分布 一维离散型随机变量 一维连续型随机变量 正态分布 一维随机变量函数的分布 §3.1 随机变量的概念 要求问题涉及的随机事件与变量相关，这样可以将概率和函数建立联系。 定义 称定义在样本空间Ω上的实函数ξ=ξ(ω)，ω∈Ω，是随机变量，如对任意实数x ，集合{ω∣ ξ(ω) x} 都是一随机事件。 两点分布 特别，称n=1的二项分布为两点分布，其分布列为 定理2 若离散型随机变量ξ的分布律为 在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数； 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数； 落在显微镜片上的某种细菌个数 由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布 设随机变量ξn服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, …)，其中概率pn与ｎ有关，并且满足 超几何分布 负二项分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现第r次成功时所作的试验次数?所服从的分布称为负二项分布. 连续型随机变量 例１：设ξ是连续型随机变量，c为任意常数，试证P{ξ＝c}＝0 例２：设随机变量ξ的分布函数为 例3 已知随机变量ξ的密度函数是 均匀分布 设a、b为有限数，且ab。如果随机变量ξ分布密度为 例4 向区间(-1,1)均匀地投掷一随机点，以ξ表示随机点的落点坐标，试求关于t的二次方程 t2+3ξt+1=0 有实根的概率。 指数分布 §3.5 正态分布 若随机变量ξ的分布密度 证明： 2) 例1：设ξ～N(0,1)，借助于标准正态分布的分布函数 Φ(x)的表计算： （１） 求常数Ａ、Ｂ； （２） 判断ξ是否是连续型随机变量； （３） 求 P{－1≤ξ1/2} 解：（１）由分布函数性质得 （２）因为 所以F(x)不是连续函数，从而ξ不是连续型随机变量。 （３） (1) 确定a的值； (2) 求ξ的分布函数F(x)； (3) 求概率P(ξ2＞1)。 解： (1)根据密度的性质，有a＞0及 注：这种分布称为柯西(Cauchy)分布。 （2）ξ的分布函数为： （3） 则称ξ在[a,b]上服从均匀分布，记作U(a，b) 均匀分布随机变量的分布函数为： 解: ξ在(－1,1)上服从均匀分布，其密度函数为 方程t2+3 ξ t+1=0 有实根的的充要条件是 则方程有实根的概率为 若随机变量ξ具有分布密度为 则称ξ服从参数为a的指数分布。容易求得它的分布函数为 指数分布具有如下特征： 设ξ服从参数为a的指数分布，则对任意正数s、t，有 P(ξs+t︱ξs)= P(ξt) 称指数分布具有“无记忆”性。 指数分布是唯一具有“无记忆”性的连续型分布。 例5 设到某服务窗口办事，需排队等候。若等待的时间ξ是指数分布随机变量（单位:min），则其概率密度为 某人到此窗口办事，在等待15分钟后仍未能得到接待时，他就愤然离去，若此人在一个月内共去该处10次。 试求:（1）有2次愤然离去的概率; （2）最多有2次愤然离去的概率; （3）至少有2次愤然离去的概率。 解 首先可求出他在任一次排队服务时，以愤然离去而告终的概率。 在10次排队中愤然离去的次数η～B（10，p），即η服从n=10，p=0.2231的二项分布，于是所求的概率分别为 其中μ、σ0为常数，则称ξ服从参数为μ、σ的正态分布，简记为ξ～N(μ,σ2) 。 ξ的分布函数为 特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为： 如ξ～N(μ,σ2)，有 证明： 命题1 证明： 命题2 例：设ξ～N(－1，4)，求P{1ξ2} 解： 即x轴是f(x)的渐近线。 正态分布的密度函数与分布函数有下列性质： （1）f(x)和F(x)处处大于零，且具有各阶连续导数； （2）f(x) 在区间(－∞，μ)内单调增加，在区间 (μ，+∞)内单调减少，在x=?处取得最大值 x=? ? f(x) x （3）f(x)的图形关于直线x=?对称，即 （4）F(?－x)=1－F(u+x) 特别 特别 （5） φ(x) x=? ? ?固定时， σ的值越小，f(x)的图形就愈尖、越狭。 σ的值越大，f(x)的图形就愈平、越宽。 证明： 命题3 1) 对任意固定的非负整数ｋ，有 故得 在应用中，当ｎ很大（n≥10 ），ｐ很小(≤0.1) ，我们有下面的泊松近似公式 其中λ=np 解 设ξ为击中目标的弹数， 则ξ～B(5000,0.001) ， 例3 设每次击中目标的概率为0.001，且各次射击是否中目标可看作相互没有影响，如果射击5000次，试求：(１)击中12弹的概率；(２)至少击中12弹的概率。 下面用近