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概 率 论(续） 概率论与数理统计是研究随机现象 统计规律性的一门学科。 第五章 大数定律和中心极限定理 关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理 §1 大数定律(laws of large numbers) 例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的 概率为0.75，试利用契比雪夫不等式,(1)若n=7500,估计A出 现的频率在0.74至0.76之间的概率至少有多大；（2）估计n, 使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。 随机变量序列依概率收敛的定义 性质： 补充： 例2： 例： 大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。 §2 中心极限定理(Central Limit Theorem) 背景： 有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。 例3：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。 例4：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200 元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。 例5：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。 例6： 例7：（例1续）在n重贝努里试验中，若已知每次 试验事件A出现的概率为0.75，试利用中心极限定理, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76之间 的概率近似值；（2）估计n,使A出现的频率在0.74 至0.76之间的概率不小于0.90。 例1(用Chebyshev不等式的结果) 大数定律与中心极限定理的区别与联系： 设 为独立同分布随机变量序列， 则由 对任意的ε＞0有 大数定律虽并未给出 的表达式,但保证了其极限是1. 而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格—莱维）亦 成立，这时，对于任意的ε＞0及某固定的n，有 . 由于 ，因此，在所给条件下，中心极限定理不 仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可 见在这些条件下，中心极限定理的结论更为深入。 数 理 统 计 引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、 分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由 于大量的随机试验中各种结果的出现必然呈现 它的规律性，因而从理论上讲只要对随机现象 进行足够多次观察，各种结果的规律性一定能 清楚地呈现，但是实际上所允许的观察永远是 有限的，甚至是少量的。 §1 总体和样本 由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量X , Y , Z,…, 等 表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有 确定概率分布的随机变量(或者，随机向量)。 课件待续! 关键词：