欧几里得几何学.pptVIP

欧几里得几何学 毕文骞 六（2） 指导老师：陈博涛 1 简介 欧几里得几何学简称欧氏几何，是以欧几里得平行公理为基础的几何学．它的创始人是古代希腊的伟大数学家欧几里得．他把当代希腊数学家积累的几何知识和逻辑推理的思想方法加以系统化，初步奠定了几何学的逻辑结构的基础． 1.2 最早提出的著作 19世纪末期，德国数学家希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中提出了一个欧几里得几何的完整的公理体系．从此人们将满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理等五组公理以及由其导出的一切推论组成的几何学叫做欧几里得几何学．特别指出的是，平行公理在欧几里得几何中有着很重要的作用．凡与平行公理有关的命题，都是欧几里得几何学的结论．如三角形三条高线共点；过不共线的三点恒有一圆；任何三角形三内角之和等于180°；存在相似形；勾股定理成立．中等学校数学中的三角函数理论、平面解析几何的基础理论，都是建立在欧几里得几何学的理论基础上的。 1.3 克莱因理论 1872年，德国数学家克莱茵在爱尔朗根大学提出著名的“爱尔朗根计划书”，明确了采用几何变换对各种几何进行分类．指出，如果一种几何变换，它的全体组成一个“群”，就相应有一种几何学．在每一种几何中主要研究在相应的变换下的不变性和不变量．根据这种观点，欧几里得几何学就是研究图形在合同变换下(或在运动变换下)不变的科学。 2.1 早期几何知识 约公元前300年，古希腊数学家欧几里得集前人之大成，总结了人们在生产、生活实践中获得的大量的几何知识，规定了少数几个原始假定为公理、公设，并定义了一些名词概念，通过逻辑推理，得到一系列的几何命题，形成了欧几里得几何学，简称欧氏几何。 2.2 著名作品 　欧几里得著有《几何原本》（以下简称《原本》）一书，该书共13卷，除第5、7、8、9、10卷是用几何方法讲述比例和算术理论以外，其他各卷都是论述几何问题的。这部书成为传播几何知识的教科书达2000年之久，现代初等几何学（即平面几何和立体几何）的内容基本全包括在此书内。中国最早的译本是明代万历年间（1607）由大学士徐光启与意大利天主教传教士利玛窦合译的《几何原本》前6卷。《原本》之所以具有价值，不仅因为欧几里得非常详尽地搜集了当时所知道的一切几何资料，而更重要的是把那些分散的知识用逻辑推理的方法编排成一个有系统的演绎的几何学体系。他是历史上第一个创造了一个比较完整的数学理论的人 3 几何原本 欧几里得的《几何原本》共有23个定义，5条公设，5条公理，他力图把几何学建立在这些原始的定义、公理和公设的基础上，然后以这些显然的假设为依据推证出体系里的一切定理。由于欧几里得所处的时代是人类文明的初期，受时代的局限，《原本》的逻辑系统不可能完美无缺，在许多地方出现了漏洞。例如：常常使用未经定义过的概念来解释一个新的概念；用了既不是公理，又不是公设，也没有证明过的结论作为论证命题的依据；等等。正因为如此，在《原本》问世后2000年中，一方面《原本》作为用逻辑来叙述科学的典范，对数学其他分支甚至整个科学发展起着深远的影响；另一方面，对于《原本》在逻辑上的欠缺进行修改、补充和研究工作从未停止过，对于《原本》中的定义、公理、公设的研究成了历代数学家的重要课题。尤其对于《原本》中的第五公设，许多数学家对它产生了怀疑，最终导致非欧几何的创建（见非欧几里得几何学）。 　　19世纪末，德国数学家D.希尔伯特第一次给出了完备的欧几里得几何公理系统。 3.2 内容 正如欧几里得所阐述的，《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、公设、公理、定理组成的演绎推理系统。在第1卷开始他首先提出 23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度;③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。在定义之后有5个公设:①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。其次,有5个公理：①等于同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量减等量其差相等；④可重合的图形全等；⑤全体大于部分。在公理后面，欧几里得便证明各个命题，每个命题都要以公设、公理或它前面的命题作为证明的根据，按逻辑的相关性把它排列成命题1、2、3、…。这些命题实际上就是人们所说的“定理”。 3.3 意义 　《几何原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理。书中提出的几乎所有的定理在欧几里德之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此。欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中作了全面的系统阐述。这包括首次对公理和公设作了适当的选择