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U=(X1-m)2+(X2-m)2+…+(Xn-m)2,T=(X1 -?X)2+(X2 -?X)2+…+(Xn -?X)2但是可以证明, 可以对(X1 -?X),(X2 -?X),…(Xn -?X)做适当的线性变换, 得到n-1个相互独立的0均值方差为s2的随机变量Y1,Y2, …, Yn-1, 导致 因此T的n个不是相互独立的随机变量的平方和, 相当于n-1个相互独立的随机变量的平方和, 因此T的自由度是n-1. 象这样的原理只有在更深的数理统计书中才能够看到. U=(X1-m)2+(X2-m)2+…+(Xn-m)2,T=(X1 -?X)2+(X2 -?X)2+…+(Xn -?X)2T的另一种计算办法: 4. 样本k阶原点矩 它的观测值记为 显然，样本的一阶原点矩就是样本均值. 5. 样本k阶中心矩 它的观测值记为 显然，样本一阶中心矩恒等于零. 当样本容量n较大时，相同的样本观测值xi往往可能重复出现，为了使计算简化，应先把所得的数据整理，设得到下表： 观测值xi x(1) x(2) … x(l) 总计 频数ni n1 n2 ? nl n 其中 观测值xi x(1) x(2) … x(l) 总计 频数ni n1 n2 ? nl n 显然，当样本容量n充分大时，样本方差s2与样本二阶中心矩b2是近似相等的. 若总体X的k阶矩E(Xk)=mk存在, 则当n??时 , k=1,2,….这是因为X1,X2,…,Xn独立且与X同分布, 所以X1k,X2k,…,Xnk独立且与Xk同分布. 故有从而由第五章的大数定律知 进而由第五章中关于依概率收敛的序列的性质知道 其中g为连续函数，这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据. 作业:第135页开始习题6-1, 第3,4,5题第141页开始习题6-3, 第1,2,3题 * 此幻灯片可在网址上下载 第18讲 第六章 样本及抽样分布 第一节 总体与样本 在实际应用中，对一个给定的随机变量X，通常并不知道它的一些信息。例如，或者不知道它的分布，或者，不知道它的一些数字特征，如数学期望，方差，等等。因此，就需要对X做一些随机试验，根据随机试验的结果，对X的一些信息作出判断或者估计，得出某些结论，这就是数理统计。 因此，对于我们要通过一系列随机试验来研究的那个随机变量X，我们叫它总体。通常要做多次相互独立的随机试验。在事先要做出计划，随机试验的次数是多少。事先计划的随机试验的次数n，我们称之为样本容量。 对总体X计划做n次随机试验，将要得到n个数，就是试验结果。但是，在计划已经做出，试验还没有做的时候，我们不知道这n个数是什么，在这时，这n个数也是随机变量，因为试验是计划相互独立地做的，因此这n个随机变量X1,X2,…,Xn也是相互独立的，它们都和总体X的分布一样。称这n个随机变量为总体X的样本。 然后开始实施计划，也就是对总体X做n次相互独立的随机试验，也可以看成是对样本X1,X2,…,Xn做一次随机试验，当然就得到了n个具体的试验结果，n个具体的数，用x1,x2,…,xn来表示，这被称为样本X1,X2,…,Xn的样本值。 总结性的定义：定义 总体是一个随机变量X，样本是n个相互独立的与总体同分布的随机变量X1,X2,…,Xn，其中n称为样本容量。样本值是对X做n次独立试验（或对样本X1,X2,…,Xn做1次试验）的试验结果，用x1,x2,…,xn表示，也叫样本观测值。 若将样本X1,X2,…,Xn看作是一个n维随机变量(X1,X2,…,Xn)，则(1) 当总体X是离散型随机变量，可取的值为h1,h2,…，若记其分布律为P{X=x}=p(x), 其中x这个自变量是离散地取值h1,h2,…，则样本(X1,X2,…,Xn)的分布律为 p*(x1,x2,…,xn)=p(x1)p(x2)…p(xn); (1)其中x1,x2,…,xn都离散地从h1,h2,…,中取值.(2) 当总体X是连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)时，样本(X1,X2,…,Xn)的概率密度为 f *(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn) (2) 第二节 样本分布函数 直方图 一、样本分布函数将总体X的分布函数 F(x)=P{X?x) (1)称为总体分布函数. 从总体中抽取容量为n的样本，得到n个样本观测值，若样本容量n较大，则相同的观测值可能重复出现若干次，为此，应当把这些观测值整理，并写出下面的样本频率分布表： 观测值 x(1) x(2) ? x(l) 总计 频数 n1 n2 ? nl n 频率 f1 f2 ? fl 1 样本频率分布表： 观测值 x(1) x(2