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进一步考察上式中 与 的脉冲强度序列之间的关系，即研究其时域、频域采样序列样本之间的关系，如图所示： 二、离散傅里叶级数 对于 的脉冲强度序列（用 表示），就是 的傅里叶级数的系数 ，即 脉冲强度序列 脉冲强度序列 对于 的脉冲强度序列（用 表示），是由 每个脉冲强度构成的序列。实际上，它是原信号 的 个采样值 乘以 因子延拓而成的序列。 与 是 的傅里叶级数的系数相对应， 是 周期脉冲序列的傅里叶级数的系数。由傅里叶级数的系数公式的正、逆对称性，可得 于是，得到构成了信号 的时域、频域采样样本值序列的变换对 因为上述变换对是互为傅里叶级数关系，通常称为离散傅里叶级数（DFTS）变换对。显然它们也是以N为周期的序列，在时、频域的分布区间为 。 对于离散傅里叶级数（DFTS）变换对，将 的取值范围定义为序列的“主值区间”，而将主值区间的N点序列定义为“主值序列”，则有 三、离散傅里叶变换 频域采样的主值序列 时域采样的主值序列 上式即构成了离散傅里叶变换对，亦可表示为 如果令 则上式可表示为 以上分析结果表明，通过对连续傅里叶变换的改造，将 个时域采样点与 个频域采样点联系起来，建立起时、频域关系，提供了利用数字计算机作离散傅里叶变换运算的一种方法。 4.3 快速傅里叶变换（FFT） 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种减少DFT计算时间的算法。在FFT出现之前，虽然DFT为离散信号的分析从理论上提供了变换工具，但是由于DFT的计算很长，使之难以实现。 例如，对采样点N=1000， DFT算法运算量约需200万次，而FFT算法则仅需1.5万次，可见FFT方法大大地提高了运算效率。 因此，FFT方法于1965年由美国库利-图基（J.W.Cooley-J.W.Tukey）首先提出时，曾被认为是信号分析技术的一个划时代进步。 一、 FFT的基本原理 为了说明FFT算法的原理，首先研究DFT变换计算所需的工作量。 由离散傅里叶变换分析已知，DFT 计算式为 将以上两式写成矩阵形式 式中： 由此可知，上述两个 方阵 和 都是对称矩阵 ； 将上述两式简写为 由 式可以看出，将 与 两两相乘再取和即可得到 。每计算一个 值，需要进行 次复数相乘和 次复数相加。当计算 共 个 值时，则需要 次复数相乘， 次复数相加。 随着N值加大，运算工作量将迅速增大。例如，当N=10时，需要100次复数相乘；而当N=1024(210)时，就需要一百多万次(1048576)复数乘法运算。即，DFT 方法的计算量与采样点数N2成正比，按照这种规律，如果在N较大时，要求对信号进行实时处理，所需的运算时间就难以实现。 由此可见，在 与 相乘的过程中存在着不必要的重复运算。避免这些重复则是简化运算的关键，即为FFT算法的基本思想。 为了便于讨论，设N=4，则 矩阵表达式为 进一步分析矩阵式 ，可以发现如下特性： （1） ； ； （2） 的周期性，即 把以上特性运用于N=4的矩阵 ，则可将该矩阵简化为 由此可见，在简化后矩阵 中的若干数量的元素相同，这样就使运算过程得到极大的简化。这就是库利-图基FFT算法的基本思想。 （原计算式） （周期性简化） （对称性简化） （3） 的对称性，即 周期性 简 化 ： 对称性 简 化 ： ； 。 FFT算法的类型有多种，但每种算法的建立，多是考虑了被分析数据的特性，或者利用计算机特性、或者利用专用计算机FFT硬件特性等。 FFT算法的典型形式是库利-图基算法，一般是时域抽取基2算法，即对时间序列 进行分解，选取采样点数N为2的幂，即N=2M,M是正整数。例如，一般FFT算法的采样点数N为256（28），512（29）和1024（210）等。 二、FFT算法 基2算法的出发点即把时间序列 按n为偶数和n为奇数分解为两部分，分组算出两个N/2点的DFT（如下图），又组合为N点的DFT。 组合相加 右图是 N=8 点时的分