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状态空间表达式解
2.4.3 状态转移矩阵?(t,t0)的计算 证明1: 设 exp[ d? ? t0 t A(?) X(t0)] X=A(t)X(t) · 是 的解 则满足 ?(t, t0)=A (t) ?(t,t0) · ?(t, t0) =exp[ d?] ? t0 t A(?) =I+ d? ? t0 t A(?) +1/2! d? ? t0 t A(?) d? ? t0 t A(?) +… (1) 对上式求导 d dt ?(t, t0)= A(t) +1/2!A(t) d? ? t0 t A(?) +1/2! d? ? t0 t A(?) A(t) +… (2) 满足 ?(t0, t0)=I ?(t, t0)=A (t) ?(t,t0) · 2.4.3 状态转移矩阵?(t,t0)的计算 证明1: (1)式两边左乘A(t) d? ? t0 t A(?) d dt ?(t, t0)= A(t) +1/2!A(t) d? ? t0 t A(?) +1/2! A(t) +… (2) d? ? t0 t A(?) d? ? t0 t A(?) A(t) exp = A(t) + +1/2!A(t) d? ? t0 t A(?) d? ? t0 t A(?) + … (3) A(t) 比较(2)、(3)两式,若使 d dt ?(t, t0)= A(t) exp d? ? t0 t A(?) 成立 A (t) d? ? t0 t A(?) = ?A (t) d? ? t0 t A(?) 必满足 则有?(t, t0) =exp d? ? t0 t A(?) ?(t0, t0)=exp d? ? t0 t0 A(?) =I+ d? ? t0 t0 A(?) +1/2! d? ? t0 t0 A(?) d? ? t0 t0 A(?) +… (1) 又 =I x1 x2 · · x1 x2 = 0 1 0 t 例:求时变系统的状态转移矩阵?(t,0) 解:证明 A (t) d? ? t0 t A(?) ? ?A (t) d? ? t0 t A(?) 取前面三项近似计算 d?1 ? 0 t A(?1) d?2 ? 0 ?1 A(?2) [ ] = d? ? 0 t A(?) 0 t 0 t2/2 = d?= ? 0 t 0 1 0 ? ? 0 t 0 1 0 ?1 0 ?1 0 ?12/2 d?1 ? 0 t = 0 ?12/2 0 ?13/2 d?1 = 0 t3/6 0 t4/8 d? ? 0 t A(?) 则有?(t, 0) =I+ + d?1 ? 0 t A(?1) d?2 ? 0 ?1 A(?2) [ ] +… = 1 0 0 1 + 0 t 0 t2/2 + 0 t3/6 0 t4/8 +… = 1 t+ t3/6 +… 0 1+ t2/2 +t4/8 +… 作业:2-2 求状态方程的解 u X · 0 1 0 0 = X+ 0 1 1 1 X(0)= u(t)=1(t) * 第2章 控制系统状态空间表达式的解 2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解 2.6 线性离散系统状态方程的解 2.2 线性定常连续系统状态转移矩阵的几种算法 2.3 线性定常连续系统非齐次状态方程的解 2.4 线性时变连续系统状态方程的解 2.5 线性连续系统状态方程的离散化 2.1 线性定常连续系统齐次状态方程的解 2.1.1 齐次状态方程的解 u=0 X(t0) =X0 X=AX t0=0 · 1、直接求解 设 n=1 x=ax · 解为x(t)=eatx0 且eat=1+at+a2t2/2!+… 对于 n阶, 解为X(t)=eAtX0 eAt=I+At+A2t2/2!+… 矩阵指数函数 证明: 设X(t)解的形式为 X(t)=b0+b1t+ b2t2+…+ bktk+… 代入状态方程 b1+2b2t+ 3b3t2+…+ kbktk–1+…=A( b0+b1t+ b2t2…+ bktk+…) b1= A b0 b2= A b1= A2b0 1 2 1 2! b3= A b2= A3b0 1 3 1 3! bk=
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