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猜想求证型问题
三十九章 猜想求证型问题
23.(2013滨州)我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似的,我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.
连接AF并延长交BC于点G△ADF≌△GCF,容易看出EF为△ABG的中位线,所以,EF=(AD+BC)解:结论为:EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).理由如下:
连接AF并延长交BC于点G.
∵AD∥BC∴∠DAF=∠G,
在△ADF和△GCF中,
,
∴△ADF≌△GCF,
∴AF=FG,AD=CG.
又∵AE=EB,
∴,
即EF∥AD∥BC,EF=(AD+BC).
..;
⑵ 如图(乙),当点P为线段EC上任意一点(不与点E、点C重合)时,其它条件不变,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给与证明;若不成立,请说明理由;
⑶ 如图(丙),当点P为线段EC延长线上任意一点时,其它条件不变,则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.(2)图2中结论PR+PQ=仍成立.证明:连接BP,过C点作CKBD于点K.四边形ABCD为矩形,BCD=90°,又CD=AB=3,BC=4,BD=
∵S△BCD=BC?CD=BD?CK,
3×4=5CK,CK=
∵S△BCE=BE?CK,S△BEP=PR?BE,SBCP= PQ?BC,且SBCE=S△BEP+S△BCP,
BE?CK=PR?BE+PQ?BC
又BE=BC,CK=PR+PQ,PR+PQ=
(3)图3中的结论是PR-PQ=.仍然成立,理由见解析;⑶图(丙)中的结论是PR-PQ=.本题考查了矩形的性质及勾股定理,关键是掌握好矩形的性质..16.(2013遵义)猜数字游戏中,小明写出如下一组数:,,,,…,小亮猜想出第六个数字是,根据此规律,第n个数是 .
解析: 根据分数的分子是2n,分母是2n+3,进而得出答案即可.解:∵分数的分子分别是:2 2=4,23=8,24=16,…
分数的分母分别是:2 2+3=7,23+3=11,24+3=19,…
∴第n个数是.
故答案为:.答案: 点评: 此题主要考查了数字变化规律,根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键.
问题情境
如图,在x轴上有两点A(m,0),.
特例探究
填空:
当m=1,n=2时,=____,=______.
当m=3,n=5时,=_____,=______.
归纳证明
对任意m, n(nm0)与的大小关系,并证明你的猜想
拓展应用.
若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2(a0)”与的大小关系.
连接EF, AE.当时,直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状.
【解析】【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】(1)的特殊情况,因此以【拓展】(1)为例说明前三小问的思路:已知A、B的坐标,根据抛物线的解析式,能得到C、D的坐标,进而能求出直线OC、OD的解析式,也就能得出E、F两点的坐标,再进行比较即可.最后一小题也比较简单:总结前面的结论,能得出EF∥x轴的结论,那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系,能判断出EF、OA的比例关系,进而得出m、n的关系,再对四边形OFEA的形状进行判定.
【答案】
解:特例探究
当m=1,n=2时,A(1,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(2,4);
则:直线OC的解析式为:y=x;直线OD解析式为:y=2x;
∴F(1,2)、E(2,2);
即.
同理:当m=3,n=5时,.
归纳证明
猜想:
证明:则,C, D
OD的解析式为y=nx
OC的解析式为y=mx
E在OC上,横坐标为n,
当x=n时,
F在OD上,横坐标为m
当x=m时,
∴
拓展应用
设
则
OD的解析式为
当x=n时,;当x=m时.
∴
(2)∵四边形OFEB是直角梯形,EF=n-m,OB=n, BE=mn
又
∴
可得, EF=m, OA=m
∴EF‖OA且EF=OA.
∴四边形OFEA是平行四边形.
【点评】本题主要考查的是一次函数解析式的确定和二次函数的性质、图形面积的解法、平行四边形的判定等知识,综合性较强,本题由特殊到一般、由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度,对于基础知识的掌握是解题的关键.
28....
∴点G坐标为(3,4 -)
⑵设:直线EF的解析式是
∵在Rt△BFG中,cos∠BFG==
∴∠BFG=600,∴∠AFE=∠EFG=600
∴AE=AFtan∠AFE=2tan600=2
∴E点的坐标是(0,)
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