3.3模拟方法 概率的应用导学案（ 北师大版必修3）.docVIP

§3　模拟方法——概率的应用 1．了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义． 2．初步学会求一些简单的几何概型中事件的概率． 3．能够运用模拟方法估计概率． 几何概型 (1)定义：向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成______，而与G的形状、位置无关，即 P(点M落在G1)＝____________， 则称这种模型为几何概型． (2)说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是________之比或________之比． 几何概型的两个特点．一是无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的；二是等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的． 【做一做1】判断下列试验中事件发生的概率模型是古典概型还是几何概型． (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率； 【做一做2】在两根相距6 m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂上一盏灯，则灯与木杆两端的距离都大于2 m的概率是(　　)． A B． C． D． 如何判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型？ 剖析：几何概型的特征：一是无限性，试验中所有出现的结果(基本事件)有无限个，即有无限个不同的基本事件；二是等可能性，每个结果出现的可能性是均等的．而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；二是等可能性，指每个结果出现的可能性(概率)是均等的． 因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是： ①确定一次试验中每个结果(基本事件)出现的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不属于古典概型又不属于几何概型； ②如果试验中每个结果出现的可能性是均等时，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率模型属于古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率模型属于几何概型． 题型一与长度有关的几何概型【例题1】公共汽车在0～5 min内随机地到达车站．求汽车在1～3 min之间到达的概率． 反思：(1)求与长度有关的几何概型的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度． (2)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率 P(A)＝. 题型二与面积有关的几何概型 【例题2】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A)的概率是多少？ 分析：利用直角坐标系将题目中的条件转化为平面图形的面积，然后利用几何概型求解． 反思：解决本题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件，从而转化为平面图形中的面积型几何概型问题．如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为平面图形的面积，这种概率模型称为面积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率： P(A)＝. 题型三与体积有关的几何概型 【例题3】有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率． 分析：这个细菌所在的位置有无限个，属于几何概型． 反思：如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为几何体的体积，这种概率模型称为体积型的几何概型，则可按下列公式来计算其概率： P(A)＝. 题型四与角度有关的几何概型 【例题4】如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在∠xOT内的概率． 分析：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT内的概率只与∠xOT的大小有关，符合几何概型的条件． 反思：解答此题的关键是弄清过O作射线OA可以在平面内任意的位置上，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的． 题型五易错辨析 【例题5】在等腰直角△ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM＜AC的概率． 错解：设“AM＜AC”为事件A.如图，在AB边上取AC′＝AC.在 ∠ACB内任作射线CM，可以看作在线段AB上任取一点M，以C为端点过M作射线． 故P(A)＝＝＝. 错因分析：虽然在线段上任取一点是等可能的，但以C为端点过任取的点所作的射线是不均匀的(反之，在角内作的射线是均匀的，但射线与边AB的交点是不均匀的)，因而不能把等可能取点看作等可能作射线．因此在确定基本事件时，一定要注意选择好观察角度，注意判断基本事件发生的等可能性．本题的几何度量应为角度，而不是长度． 1向如图所示的方砖上随机投掷一粒豆子，则该豆子落在阴影部分的概率是(　　)． A B． C． D． 2