理论力学第六章.pptVIP

有势系的拉格朗日方程 对于有势体系，广义力为 则拉格朗日方程变为 移项整理得 把 定义为拉格朗日函数，则拉格朗日方程变为 受理想约束的有势系的拉格朗日方程 循环坐标和广义动量积分 拉格朗日函数对广义速度的偏导数，称为力学系的广义动量 若广义坐标 为线坐标，则 是线动量 若广义坐标 为角坐标，则 是角动量 若某一广义坐标 在拉格朗日函数中不出现，则有 根据拉格朗日方程可得 则其所对应的第一积分为 在体系的拉格朗日函数 L内不出现的广义坐标，称为该体系的循环坐标，其所对应的第一积分为该循环坐标的广义动量积分 §6.4 拉格朗日方程的应用 例题6.4：体现了拉格朗日方程在力学体系的运动时的优势 例题：一半径为r，质量为m 的小圆柱体沿一固定的半径为R 的圆柱面内表面做纯滚动，用拉格朗日方程求圆柱体在其平衡位置（最低点）附近做微振动的周期。 §6.6 哈密顿函数和正则方程 n个质点组成的自由度为s的力学体系： 称为哈密顿函数(或哈密顿量)，是广义坐标和广义动量的函数。 在稳定约束下，动能是广义速度的二次齐次函数 对于仅有两个广义坐标的系统： 则可得： 同理，对于具有s个广义坐标的力学体系有 在稳定约束情形下，哈密顿函数就是力学系的总机械能函数 系统的动能为广义速度的二次齐次函数时，哈密顿函数变为 对于不稳定约束系统： 考察在无限小时间变化内哈密顿函数的改变： 拉格朗日函数是广义坐标、广义速度和时间的函数： (1) (2) (3) 将(2)代入(3)得： (4) (5) 对比（4）和（5）两式可得到下述方程组 称为哈密顿正则方程，其为力学系的运动方程，广义坐标和广义动量则称为力学系的正则变量. 例题：半径为r质量为M的均质圆盘,其盘心C处系一细绳并绕过滑轮O，绳的另一端系一质量为m的重物，圆盘在水平面上作纯滚动，不计滑轮质量。试用哈密顿正则方程求盘心的加速度及盘沿与地面的摩擦力（初始时刻m在O点处）。 解：体系的自由度为1，选取 为广义坐标，设圆盘做纯滚动的角速度为 体系的动能为 以O点为势能零点，则体系的势能为 则体系的拉格朗日函数为 则体系的哈密顿量为 (1) (2) 代入正则方程有 将(2)代入（1），得 得到体系的运动学方程为 对于圆盘和重物系统由牛顿第二定律可得 则圆盘与底面的摩擦力为 用正则方程建议系统运动微分方程小结 1)确定自由度，选择广义坐标 2)写出系统相对于惯性系的动能和势能，写出拉格朗日方程；求出广义动量，反解出广义速度；再代入H函数消去广义速度，使得H表达为广义坐标和广义动量的函数。 4)将H代入正则方程，得出系统运动微分方程 第六章：分析力学 §6.1 约束 自由度和广义坐标 力学系统：由相互作用着的质点所构成的系统，或称为力学体系或体系 位形：力学系中各质点的位置状态称为力学系的位形。包含 n 个质点的力学系位形需要 3n 个坐标参量来确定 约束：在一个力学体系中，如若存在一些限制质点自由运动的条件，则这些限制条件称为约束（其表现为在运动过程中各质点位置和速度必须满足一定的关系） 力学体系的约束可以表示为约束方程 若约束只是限制各质点的几何位置，则称为几何约束 若约束方程中还包含有速度变量，则称这种约束为微分约束 例如：a)长为 l 的刚性轻杆，一端被光滑铰链悬挂在 o 点，另一端与小球连接组成球面摆，在直角坐标系小球约束方程为 b)半径为 R 的车轮沿水平直线轨道无滑滚动，由于接触点速度为零，则约束方程为 不随时间变化的约束称为为稳定约束 若约束明显地随时间变化，则称为不稳定约束 对于完整系，确定系统位置所需要的独立坐标的数目，称为该系统的自由度 对于具有n个质点的力学体系，若存在k个约束方程，则确定体系位形变化的3n个坐标参量中有s=3n-k个参量可以独立变化，其中 s 称为体系的自由度 自由度为4！ 广义坐标： 在给定的约束条件下能完全确定系统位置的一组独立变量称为系统的广义坐标 对于一个给定的系统，广义坐标的数目是一定的，但广义坐标的选择不是唯一的！ 广义坐标的表示：广义坐标一般用符号 q 表示，如果系统有s个自由度，就需要 s 个广义坐标，称为拉格朗日广义坐标 或 力学体系中每个质点的直角坐标都可以表示为广义坐标的函数，其变换关系称为坐标变换方程 如果选用 作为广义坐标 则坐标变换方程为： 广义坐标对时间的导数称为与该广义坐标对应的广义速度： 系统状态由广义坐标和广义速度共同描述 §6.2 虚功原理 （一）实位移和虚位移 质点在真实运动中的位移称为实位移，是由真实运动产生，与一定的时间相对应，由动力学方程、初始条件和约束方程确定。在时间dt之内，质点的实位移只有一个。 质点在满足当时约束条件下一切可能的无限