循环数中的卡普列加数.docVIP

循环数中的卡普列加数 　　【摘要】本文讲述了在循环数中寻找卡氏甲数，用循环数表达卡氏乙数的方法，给出了卡普列加数的周期循环变化规律，从而揭示了循环数的周期现象. 　　【关键词】卡普列加数；卡氏甲数；卡氏乙数；广义卡普列加数；循环数符号 　　如果既约真分数ba（分母a不含2及5的素因数）是一个可化为纯循环小数的分数，例如，59=0.5?，5[]11=0.4?5?，9[]11=0.8?1?，1[]7=0.1?42857?，那么5，45，81，142857等循环数与“卡普列加数”有关系吗？首先，我们来看“卡普列加数”的有关定义： 　　定义1 取一个任意自然数M，将其平方M2切为两半，并求其和M′.若M′=M，则M即为二阶卡普列加数或二阶卡氏甲数（简称卡氏甲数），M2的运算结果称为卡普列加平方数或二阶卡氏乙数（简称卡氏乙数）. 　　定义2 若（x）n或[x]n（x为正整数）表示把x重写n遍并串联在一起的n重数，则由重复数x组成的卡氏甲数[x]n称为以x为底数的n重卡氏甲数（简称n重卡氏甲数）.例如： 　　[（81）3]2=8181812=669420|148761，M′=669420+148761=818181=（81）3. 　　（为了说明方便起见，在中间插入一个竖记号|，表示前半部分与后半部分的界限） 　　显然，遵循“定义1”的思路，可以把“二阶卡氏甲数”推广到“三阶卡氏甲数”“四阶卡氏甲数”……（也叫作广义卡普列加数）.例如： 　　[（81）8]3=5477084898572500|2351615326821940|??0353117956423741， 　　M′=5477084898572500+2351615326821940+0353117956423741=（81）8， 　　[（5）2]4=554=09|15|06|25，M′=09+15+06+25=55， 　　其中（81）8，55分别称为三阶、四阶卡氏甲数，[（81）8]3，554的结果分别称为三阶、四阶卡氏乙数. 　　其次，我们先来研究二阶卡氏甲数的求法. 　　巧求二阶卡氏甲数 　　如何求纯循环小数中以循环数为底数的n重卡氏甲数呢？首先，我们探讨纯循环小数的循环数.以17为例.重复应用普通的除法可得17=0.1?42857? 余3，2，6，4，5，1.下面列出b7（b=1，2，…，6）的余数和商： 　　其次，我们来求17的循环数142857的平方，并把平方的结果切成两半求和（简称循环和）： 　　1428572=020408│122449，020408+122449=142857. 　　再把循环和连续写两遍即142857142857，并把这个数分成6节（每两个数字分成一节），依次分别填入表一中的循环和中. 　　再次，如果循环和某一节中的两位数与对应的商的一个数字以及下一个数字组成的两位数相同，那么从这两位数开始的循环数，就是一重卡氏甲数.如表一循环和中的1?4?与对应的商数是1及下一个商数是4，那么从14开始的循环数142857就是一重卡氏甲数，并把“1”填在表一n中的对应位置. 　　最后，余数从“1”开始，按顺时针方向把余数1，3，2，6，4，5围成一圈（如图1）， 　　图 1然后从“1”开始，按逆时针方向顺序依次可得到6个数（简称反向排列）为1，5，4，6，2，3，并把后5个数依次填在表一n中的对应位置上.这样，由表一可得到另外5个卡氏甲数，如n=4对应的商数c=285714，则（285714）4就是卡氏甲数.所以，由表一可依次得到6个卡氏甲数：（142857）1、（428571）5、（285714）4、（857142）6、（571428）2、（714285）3. 　　由于大部分的既约真分数b[]a的循环节长度比较长，循环数书写起来很不方便，所以本文规定：循环数符号b[]aλλ表示b[]a的循环节长度表示既约真分数b[]a的最小循环数.例如，由于2[]7=0.2?85714?的循环数是285714，循环节长度为6，则循环数符号2[]7λ=6表示的数为285714，即2[]7λ=6=285714.引进了“循环数符号”后，前面所求的6个二阶卡氏甲数可以简写为：1[]7λ=6 　　当a-1[]2λ≤a-1，即λ=φ（a）时，既约真分数b[]a只要构造一个余数、商数表就能求出b[]a的所有循环数.这样，利用上面的方法就可以求出n重卡氏甲数baλn中的b值及n值.当然，搜求卡氏甲数的最主要方法是利用同余式.如911的循环数是81，由同余式81×3≡1（mod11），可得卡氏甲数（81）3.既然利用上面的方法可以独立求出卡氏甲数，那么这个卡氏甲数所对应的卡氏乙数能否独立求出吗？ 　　6等都是卡氏甲数，那么如何求出它们的卡氏乙数呢？卡氏甲数与卡氏乙数有什么关系呢？我们先