BB8_5对弧长和曲线积分.ppt

高等数学 第五节 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 2.定义 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 3. 性质 二、对弧长的曲线积分的计算法 如果曲线 L 的方程为 小弧段的求法： 例2. 计算 例3. 计算 例4. 计算曲线积分 例5. 计算 例6：计算： 例7：计算 例7：计算 例7：计算 例8：计算 例8：计算 例9. 计算 例10 例11 三几何与物理意义 思考: 例9中? 改为 例1. 计算半径为 R ,中心角为 例2：求由抛物柱面 例3：已知曲杆方程为 例4 L为球面 例5 设均匀螺旋形弹簧L的方程为 内容小结 3. 计算 作业 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (2) L的质量 而 (1) 故质心坐标为 1. 定义 2. 性质 ( l 曲线弧 ? 的长度) * 主讲教师: 王升瑞 第二十五讲 一、对弧长的曲线积分的概念和性质 二、对弧长的曲线积分的应用 对弧长的曲线积分 第八章 二、对弧长的曲线积分的计算法 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ?上的一个有界函数, 都存在, ?上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 ? 的任意分割 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 此为一种新的和式极限。 定积分： 线积分： 不是定积分。 （k 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何， 总取正值，定义中右端的和式极限不变，则有： 换向不变号 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 取极限得： 曲线： 曲线： 极坐标： 解 例1. 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 其中L为双纽线 解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为 利用对称性 , 得 其中?为螺旋 的一段弧. 解: 线 其中?为球面 解: 化为参数方程 则 L 为图示三角形周界 解： 其中曲线 L 为单位圆从点 A(0,1)到点 解法一： 解法二 其中曲线 L 为单位圆从点 A(0,1)到点 其中曲线 L 为单位圆从点 A(0,1)到点 解法三： L 由 解： L 由 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由对称性可知 1. 已知椭圆 周长为a , 求 提示: 原式 = 利用对称性 分析: 1. 设 C 是由极坐标系下曲线 及 所围区域的边界, 求 提示: 分段积分 如何计算 解: 令 , 则 圆?的形心在原点, 故 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 ? = 1). 解: 建立坐标系如图, 有对称性则 截下部分的面积 A 。 解： 如图所示，先作柱面 其上各点的 密度 求 1、曲杆的长 S . 2、质量 M . 3、质心 4、曲杆的转动惯量 解： 坐标面的交线 , 求其形心 . 在第一卦限与三个 解: 如图所示 , 交线长度为 由对称性 , 形心坐标为 *