chapter6_1-2定积分的应用.ppt

第六章 第一、二节 (二) 如何应用定积分解决问题 ? 二、平面图形的面积 例1. 计算两条抛物线 例2. 计算抛物线 例3. 求椭圆 例4. 求由摆线 2. 极坐标情形 例5. 计算阿基米德螺线 例6. 计算心形线 心形线(外摆线的一种) 例7. 计算心形线 例8. 求双纽线 三、 平面曲线的弧长 (1) 曲线弧由直角坐标方程给出: (2) 曲线弧由参数方程给出: (3) 曲线弧由极坐标方程给出: 例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量, 例10. 求连续曲线段 例11. 计算摆线 例12. 求阿基米德螺线 四、 已知平行截面面积函数的立体体积 特别 , 当考虑连续曲线段 例13. 计算由椭圆 方法2 利用椭圆参数方程 例14. 计算摆线 绕 y 轴旋转而成的体积为 注 说明: 例15. 设 例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 例17. 计算由曲面 例18. 求曲线 内容小结 3. 已知平行截面面面积函数的立体体积 思考与练习 2. 试用定积分求圆 方法2 用柱壳法 备用题 2. 4. 作业 偶函数 奇函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 证: 利用柱壳法 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 并 与底面交成 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 垂直于x 轴 的截面是直角三角形, 其面积为 利用对称性 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时截面面积函数是什么 ? 如何用定积分表示体积 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直 x 轴的截面是椭圆 所围立体(椭球体) 解: 它的面积为 因此椭球体体积为 特别当 a = b = c 时就是球体体积 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的体积. 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 故旋转体体积为 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程 参数方程方程 极坐标方程 弧微分: 直角坐标方程 直角坐标方程 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转体的体积 绕 x 轴 : 绕 y 轴 : (柱壳法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s . 提示: 交点为 弧线段部分 直线段部分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 x 为积分变量 , 则要分 两段积分, 故以 y 为积分变量. 绕 x 轴 上 半圆为 下 求体积 : 提示: 方法1 利用对称性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旋转而成的环体体积 V . 说明: 上式可变形为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 半圆为 下 此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示). 解： 1. 求曲线 所围图形的面积. 显然 面积为 同理其它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又 故在区域 分析曲线特点 解: 与 x 轴所围面积 由图形的对称性 , 也合于所求. ? 为何值才能使 与 x 轴围成的面积等 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故 3. 求曲线 图形的公共部分的面积 . 解： 与 所围成 得 所围区域的面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 * 利用元素法解决: 定积分在几何上的应用 定积分在经济上的应用 定积分的应用 一、定积分的微元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分的微元法及几何应用 第六章 四、已知平行截面面积函数的 立体体积 二、 平面图形的面积 三、 平面曲线的弧长 表示为 1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的 2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代