大一高数 第一章.ppt

第一章 第一节 二、 集合与数集 表示法： 四、函数的几种特性 一、反函数 一、基本初等函数 1、有界性 设函数 y ? f ( x ) 在数集 X 上有定义? 如果存在 M 0? 使对任意 x ? X ? 都有 | f ( x ) | ? M ? 则称函数 f ( x ) 是 X 上的有界函数? 否则称函数 f ( x ) 在 X上无界? 举例? 函数 y ? sin x在(??? ??)内是有界的? 因为对任何实数x有|sin x|?1? 在[1? ??)上是有界的? 注意：函数是否有界离不开自变量的取值范围. 2、单调性 设函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义? x1 和 x2 为 I 中任意两点? 如果当x1 ? x2 时? 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 )? 则称函数 f ( x )在区间 I 上单调增加? 如果当 x1 ? x2 时? 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 )? 则称函数 f ( x ) 在区间 I 上 单调减少? 单调增加函数的图形是沿 x轴正向逐渐上升的? 单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的? 3、奇偶性 设函数 f (x)的定义域 D 关于原点对称? 如果对任意 x?D? 有 f (?x) ? f (x)? 则称 f (x)为偶函数? 如果对任意 x?D? 有 f (?x) ? ?f (x)? 则称 f (x)为奇函数? 偶函数的图形对称于 y 轴? 奇函数的图形对称于原点? 说明: 1. 定义域关于原点不对称的函数一定是非奇非偶函数。 2. 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 结论：1. 两个偶函数的和或积还是偶函数。 2. 两个奇函数的和是奇函数，积是偶函数。 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数; 和是非奇非偶函数。 4. 常值函数是偶函数。 解? 因为 例8? 判断 的奇偶性 ? 所以是奇函数. 4、 周期性 则称 为周期函数 , 称 l 为周期 (一般指最小正周期). 周期为 ? 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 第一章 二、复合函数 一、反函数 第二节 反函数和复合函数 销售量 x 是销售收益 y 的函数? 我们称上述两个函数为互为反函数? 设某种商品销售总收益为y? 销售量为x? 已知该商品的单价a? 则销售总收益是 x 的函数? y ? a x? 反过来? 对每一个给定的销售总收益 y? 则可以由 y ? a x 确定出销售量 x ? 定义1?2(反函数) 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 D? 值域为 Z? 如果对于每个 y ? Z ? 都存在唯一 x ? D? 使 f ( x ) ? y? 则 x 是一个定义在 Z上的函数? 记为 x ? f ?1( y ) ( y ? Z )? 称为 y ? f ( x ) ( x ? D ) 的反函数? 函数 y ? f ( x )与函数 x ? f ?1 ( y ) 是互为反函数? 思考： 函数 y ? f ( x )与函数 x ? f ?1 ( y ) 的图像是什么关系? 习惯上? 我们将 x ? f ?1( y ) 改写为以 x 为自变量、以 y 因变量的函数 y ? f ?1( x )? 这时我们说 y ? f ?1(x)是 y ? f ( x ) 的反函数? 因为 x 与 y 互换? 所以它们的图形是对称于直线 y ? x? 一个函数如果有反函数? 它必定是一一对应的函数关系? 严格单调函数必存在反函数，且原函数与反函数的单调性相同. 例如? 在(??? ??)内? y?x2不是一一对应的函数关系? 所以它没有反函数? 而在(0? ??)内y?x2有反函数 在(??, 0)内? y?x2有反函数 二、复合函数 定义1?8(复合函数) 设函数y?f (u)的定义域为Df ? 函数u?g(x)的值域为Zg? 若Zg?Df ?F? 则y?f [g(x)]确定一个以x为自变量、y为因变量的函数? 称为y?f (u)