吉林省东北师范大学附属中学高中文科数学人教A版选修4-1教案：第三讲—直线和圆.docVIP

第三讲 直线和圆 教学目标 知识与技能：证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。 过程与方法：以“圆周角定理”和“圆的切线概念”为起点，采用从特殊到一般的思想方法，得出圆内接四边形的性质和判定定理的猜想及其证明，圆的切线的性质和判定的有关定理； 情感态度价值观：从特殊到一般的思想方法，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。. 教学重点 圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 教学难点 圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理 课 时　　3课时 一．基础知识回顾 1、下列命题中错误的是（ ）． A．过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行 B．直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A C．若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径 D．圆的切线垂直于半径 答案:D. 2、如图15-29，PA、PB、CD都是⊙O的切线，A、B、E为切点(若AP⊥PB，垂足为P，ΔPDC的周长为C，⊙O的周长为C1，则C1与3C的大小关系是（ ） A．C1(3C B．C1(3C C．C1=3C D．与半径有关 答案:A. 3、如图15-30，点P是⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB，垂足为D，连结AC、BC、OC，那么下列结论中正确结论的个数有（ ）． ①PC2=PA·PB；②PC·OC=OP·CD；③OA2=OD·OP；④OA（CP－CD）=AP·CD．． ∴PA·PB=PE·PF． （2）当P为AB延长线上一点时，（1）中的结论仍成立( ∵BT切⊙O于点B ， ∴(ABM=(ACB． ∵(ABM=(PBE ， ∴(PBE=(ACB． ∵EF∥BC， ∴(F=(ACB． ∴(PBE=(F． ∵(P是公共角 ， ∴ΔPBE∽ΔPFA． ∴． ∴PA·PB=PE·PF． 评析：本题第（1）小题是在圆中求证等积式的问题．根据弦切角定理及已知条件PE∥BC，证得ΔPBE∽ΔPFA，得到，从而有PA·PB=PE·PF．第（2）题中当点P为AB延长线上一点时，由于相切及PE∥BC的条件没变，因此相关的角的相等关系不变，仍可证得ΔPBE∽ΔPFA，得出相同的结论． 例2．如图15-33，已知⊙A、⊙B都经过点C，BC是⊙A的切线，⊙B交AB于点 D，连结CD并延长交⊙A于点E，连结AE( （1）求证：AE⊥AB； （2）求证：DE·DC=2AD·DB； （3）如果DE·DC=8，AE=3，求BC的长( 分析：要证明AE⊥AB，只要证明∠EAD=90°，也就是证明ΔADE的另外两个角互余，结合圆的基本性质和切线的性质可得证． 解：（1）证明：∵AC与⊙B相切 ， ∴AC⊥BC， ∴(ACD＋(BCD=90(． ∵AC=AE，BC=BD， ∴(ACD=(E，(BCD=(BDC． ∵(ADE=(BDC， ∴(E＋(ADE=90(． ∴(EAD=90( ． ∴AE⊥AB． （2）证明：延长DB交⊙B于点E，连结FC，则DF=2DB，(DCF=90(． ∵AC与⊙B相切， ∴(ACD=(F ．∴(E=(F． ∴RtΔADE∽RtΔCDF． ∴ ． ∴DE·DC=AD·DF ． ∵DF=2DB， ∴DE·DC=2AD·DB． （3）∵DE·DC=2AD·DB，DE·DC=8， ∴AD·DB=4． ∵AC=AE=3，BD=BC，AB2=AC2＋BC2 ∴（AD＋DB）2=AE2＋BC2 ． ∴AD2＋2AD·DB＋DB2=9＋BC2． ∴AD2＋8=9 ． ∴AD=1． ∴BD= 4． 即BC= 4． 评析：第（2）题的突破口在2AD·DB的转化，除了延长半径成直径这一方法外，还可以延长DA到G，使AG=DA等其它方法．事实上，在证明一些带有倍数的乘积式（或比例式）时，常常需要将它转化为标