吉林省东北师范大学附属中学高中文科数学人教A版选修4-1教案：第一讲—平行线等分线段定理和平行截割定理.docVIP

第一讲 平行线等分线段定理和平行截割定理 教学目标 知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理. 过程与方法：以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。 情感态度价值观：基本数学思想是比例及其性质的应用，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点 平行线分线段成比例定理. 教学难点 相似三角形的判定定理、性质定理等等。 课 时　　3课时 一．基础知识回顾 1、ΔABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE=EA，AD，BE交于点F，则AF:FD= ． 答案:AF:FD=4:1； 3、一个等腰梯形的周长是80cm，如果它的中位线长与腰长相等，它的高是12cm，则这个梯形的面积为 cm2． 答案:240； 4、如图15-3，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，则梯子的长为 cm． 答案:440． 二．典型例题讲解 例1．如图15-4，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC，求证：ED=EC． 分析：要证明ED=EC，只要设法证明E在线段CD的垂直平分线上． ：过E点作EF∥BC交DC于F点． ∵在梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AD∥EF∥BC． ∵E是AB的中点， ∴F是DC的中点． ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°． ∴EF⊥DC， ∴EF是DC的垂直平分线． ∴ED=EC． ΔABC中，作直线DN平行于中线AM，设这条直线交边AB与点D，交边CA的延长线于点E，交边BC于点N． 求证：AD∶AB=AE∶AC． 分析：要证明AD∶AB=AE∶AC，必须找到与 AD∶AB和AE∶AC都相等的第三个量． ∵AM∥EN， ∴AD∶AB=NM∶MB，NM∶MC=AE∶AC． ∵MB=MC， ∴AD∶AB=AE∶AC． 要证明（m＋n）EF=mBC＋nAD，只要证明EF=， 又EF与AD、BC都平行，因此比较容易联想到平行截割定理． 【方法一】如图（1），连结AC，交EF于点G． ∵AD∥EF∥BC， ∴． ∴，． ∵EG∥BC，FG∥AD， ∴，． ∴EG=，GF=， ∴EF=EG＋GF=＋， ∴（m＋n）EF=mBC＋nAD． 当EF为中位线时，AE∶EB=1∶1，即m=n=1， 得2EF=BC＋AD，即EF=（BC＋AD）． 【方法二】如图（2），过点B作BG∥CD，交EF于点H，交AD于G． ∵AD∥EF∥BC，BG∥CD， ∴BC=HF=GD． ∵EH∥AG，， ∴，EH=． ∴EF=EH＋HF=＋HF． ∴（m＋n）EF=nAG＋（m＋n）HF=nAG＋mBC＋nGD=mBC＋nAD． 这个结果称为线性插值公式．当点E、F在AB、DC的延长线上（或BA、CD延长线上）时，由于AE与EB的方向相反，可以把m∶n理解为负值，在此理解下，此公式仍然成立．证明可仿上面的证明给出．1、2、15-7，EE′，AB=BC=CD=DE， A′B′=B′C′=C′D′=D′E′，若AA′=28mm，EE′=36mm， 则BB′= ，CC′= ，DD′= ． 答案:30mm，32mm，34mm； 3、B′C′，AC∥A′C′．求证：AB∥A′B′．如果BC=2B′C′，那么AB是A′B′的多少倍？ 提示：∵BC∥B′C′，∴．∵AC∥A′C′，∴． ∴，∴AB∥A′B′，AB=2 A′B′． 4、如图15-9，EF∥BC，FD∥AB，AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm．求BD．BC，∴．∵DF∥AB，∴， 即BD==2.1cm． 5、． 提示：∵EF∥BC∥AD，∴，，， 将四个等式相加得到，则． 6、ΔABC的边BC，CA，ABD，E，FAB，BD=BC，求． 提示：作CN∥AB交DF于点N，，，两式相乘得．又由AF=AB得，由BD=BC得，则=2×=． 7、ABCD是平行四边形．∴AN∥CM．8、如图15-12，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，