人教版高中数学必修五课件：2.5第2课时等比数列习题课3.ppt

2.分组求和 当一个数列本身既不是等差数列也不是等比数列，但此数列的项可分成二项(或多项)，而这两项(或多项)往往是常数或是等差(比)数列，进而利用等差数列或等比数列的求和方法分别求和，然后再合并，从而得到该数列的和. 3.存在探索性问题 (1)基本特征：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立. (2)解题策略：假定题中的数学对象存在或结论成立或暂且认可其中的一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论. 【变式训练】1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2. (1)设bn=an+1-2an，证明：数列{bn}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 【解析】(1)因为Sn+1=4an+2，所以当n≥2时，Sn=4an-1+2， 所以Sn+1-Sn=(4an+2)-(4an-1+2)， 所以an+1=4an-4an-1， 所以an+1-2an=2(an-2an-1)， 因为bn=an+1-2an，所以bn=2bn-1(n≥2)， 故{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1，所以 故 是首项为 ，公差为 的等差数列. 所以 得an=(3n-1)·2n-2. 2.(2015·银川高一检测)设数列{an}满足a1=2，an+1-an=3·4n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式. (2)令bn=n+an，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】(1)由题意，得 a2-a1=3×4， a3-a2=3×42， a4-a3=3×43， … an-an-1=3·4n-1(n≥2)， 以上n-1个式子相加，得 an-a1=3(4+42+43+…+4n-1) 所以an=a1+4n-4=4n-2. a1=2满足上式，所以an=4n-2. (2)bn=n+an=n+(4n-2)， Sn=1+(4-2)+2+(42-2)+3+(43-2)+…+n+(4n-2) =(1+2+…+n)+(4+42+43+…+4n)-2n 3.已知数列{an}满足：a1=1，a2=a(a0).数列{bn}满足bn=anan+1(n∈N*). (1)若{an}是等差数列，且b3=12，求a的值及{an}的通项公式. (2)若{an}是等比数列，求{bn}的前n项和Sn. (3)当{bn}是公比为a-1的等比数列时，{an}能否为等比数列？若能，求出a的值；若不能，请说明理由. 【解析】(1)因为{an}是等差数列，a1=1，a2=a， 所以an=1+(n-1)(a-1). 又因为b3=12， 所以a3a4=12，即(2a-1)(3a-2)=12. 解得a=2或a=- .因为a0，所以a=2，an=n. (2)因为数列{an}是等比数列，a1=1，a2=a(a0)， 所以an=an-1，bn=anan+1=a2n-1. 因为 =a2，所以数列{bn}是首项为a，公比为a2的等 比数列. 当a=1时，Sn=n；当a≠1时，Sn= (3)数列{an}不能为等比数列.理由如下： 因为bn=anan+1， 所以 则 =a-1.所以a3=a-1. 假设数列{an}能为等比数列. 由a1=1，a2=a，得a3=a2. 所以a2=a-1，因为此方程无解， 所以数列{an}不能为等比数列. 规范解答 数列求和问题 【典例】(12分)(2015·山东高考)已知数列{an}是首项 为正数的等差数列，数列 的前n项和为 . (1)求数列{an}的通项公式. (2)设bn=(an+1)· ，求数列{bn}的前n项和Tn. 【审题指导】(1)先根据数列 的前n项和为 ， 计算出 然后根据数列{an}是等差数列列方程组 计算a2和公差d，最后写出通项公式. (2)首先根据(1)的结论写出bn的通项公式，然后利用错 位相减法求解. 【规范解答】(1)设等差数列{an}的公差为d， 令n=1，得 所以a1a2=3， 即a1(a1+d)=3，　①……………………………1分 令n=2，得 所以a2a3=15， 即(a1+d)(a1+2d)=15　②………………………2分 ②÷①得 =5，整理得d=2a1， 代入①得a1(a1+2a1)=3，故a12=1， 又因为a10，所以a1=1，所以d=2. ………………………………………3分 所以an=1+(n-1)×2=2n-1. ………………………………………………………4分 (2)因为bn=(an+1) =2n×22n-1=n×4n. ……………………………………