人教版高中数学必修五课件：2.4第1课时等比数列4.ppt

(4)若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq′的等比数列. 【补偿训练】已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求数列{an}的通项公式. 【解析】因为Sn=2an+1，所以Sn+1=2an+1+1. 所以an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1)=2an+1-2an， 所以an+1=2an，又因为S1=2a1+1=a1， 所以a1=-1≠0，又由an+1=2an知an≠0， 所以 =2，所以{an}是以-1为首项，2为公比的等比数列. 所以an=-1×2n-1=-2n-1. 【延伸探究】1.(变换条件)将本题条件“Sn=2an+1”改为“a1=1，{an+Sn}是公差为2的等差数列”，其他条件不变，结果如何？ 【解析】因为a1+S1=2a1=2， 所以等差数列{an+Sn}的首项为2，又因为公差为2， 所以an+Sn=2+2(n-1)=2n，① 所以an+1+Sn+1=2(n+1)，② ②-①得an+1-an+an+1=2，整理得2(an+1-2)=an-2， 又因为a1-2=-1≠0，所以an-2≠0，所以 所以数列{an-2}是首项为-1，公比为 的等比数列. 所以an-2= ，即an=2 . 2.(变换条件、改变问法)将本题条件“Sn=2an+1”改为“a1=1，Sn+1=4an+1”，证明：数列{an+1-2an}是等比数列. 【证明】由于Sn+1=4an+1，① 当n≥2时，Sn=4an-1+1.② ①-②，得an+1=4an-4an-1. 所以an+1-2an=2(an-2an-1)，n≥2 因为a1=1，且a1+a2=4a1+1，即a2=3a1+1=4. 所以a2-2a1=2， 故数列{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列. 易错案例 等比数列中项的设法问题 【典例】已知一个等比数列的前4项之积为 ，第2项 与第3项的和为 ，则这个等比数列的公比为 ________. 【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是对成等比数列的4个数的设法 出错.实际上设这4个数为 aq，aq3，公比为q2， 这就相当于规定了这个等比数列各项要么同为正，要 么同为负，而题设中无此规定. 【自我矫正】 设这4个数为a，aq，aq2，aq3(其中aq≠0)， 由题意得 所以 所以 整理得q2-6q+1=0或q2+10q+1=0， 解得q=3±2 或q=-5±2 . 答案：3±2 或-5±2 【防范措施】 1.关注等比数列中项的设法 (1)三个数成等比数列，常设为 ，a，aq(a≠0). (2)四个数成等比数列，常设为a，aq，aq2，aq3，而 不设为 ， ，aq，aq3，这样设会因等比数列的公比 为q2而失根. 2.注意等比数列中项的变化规律 (1)各项均为正数. (2)各项均为负数. (3)正负间隔出现，即奇数项为正(负)，偶数项为负(正). 2.(1)设等差数列{an}的公差为d， 则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10， 所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1). (2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16， 所以q= =2，b1=4，bn=2n+1， b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63. 所以b6与数列{an}的第63项相等. 【延伸探究】若将典例2的条件“等差”改为“等比” “a1+a2=10，a4-a3=2”改为“a3+a1=5，a5-a1=15”， 求数列{an}的通项公式. 【解析】设等比数列{an}的公比为q， 由已知得 即 由②÷①得q2-1=3，所以q=±2. 代入①得a1=1，所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1或an=(-2)n-1. 【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算. 【变式训练】1.(2015·成都高一检测)已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a7=(　　) A.18 B.24 C.30 D.42 【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q，由题意得3+3q2+3q4=21，即q4+q2-6=0，解得q2=2或q2=-3(舍)，所以a3+a7=3q2+3q6=3×2+3×23=30. 2.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a3=5，a1a3=4. 求数列{an}的通项公式. 【解析