第七章多元函数的微分学.pptVIP

第七章 多元函数的微分学 7.1 空间直角坐标系与向量的概念 7.2 多元函数的概念 7.3 多元函数的偏导数与全微分 7.4 多元函数的复合函数的偏导数 7.5 多元函数的极值 的函数值，函数值的总体称为函数的值域。类似地，可定义三元函数及其他多元函数。 的二元函数。 类似的例子还可举出很多,今后我们主要研究二元函数。 偏导函数,简称偏导数,记作 例1 如下图所示 二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 例6 定理7.5 证明 证明 则 例2解 定理7.6（隐函数存在定理） 例3 解 意义. 偏导数的几何意义 如下图所示 例如 偏导数与连续的关系 注: 偏导数存在与连续的区别 (1)偏导数存在，不一定连续； (2)连续，不一定存在偏导数； 高阶偏导数可定义为相应低一阶偏导数的偏导数.例如设 一般来说,这两个偏导数还是 可定义二元函数的二阶偏导数如下 高阶偏导数 例 4 解 二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 例5 解 上述例子中二阶混合偏导数都是相等的,但对许多二元函数 来说,它们的二阶混合偏导数并不相等,也就是说两者相等是要有 条件的. 为此,给出下面的定理: 定理6.1 相等. 例6 解 因为 所以 小结： 在二阶偏导数连续的情况下，混合偏导数的最终值和求导 次序无关。 定理6.5 多元复合函数求导法则 7.4 多元函数的复合函数的偏导数 证明 所以有 完全类似地可以证明第二个等式。 下面再介绍一特殊情形。 另外，对于自变量或中间变量多于两个的情形，也有类似 则 例2 解 隐函数的偏导数求法 同理可证 定理6.6（隐函数存在定理） 并有 注意 例3 解 例4 解 应用上面公式，得 1、二元函数的极值 二元函数的极值问题，一般可以利用偏导数来解决。 定理6.7(极值存在必要条件) 使 二元函数极值的求法 7.5 多元函数的极值 定理6.8（极值存在充分条件） 令 第一步 第二步 第三步 例3 解 （1）求驻点 解方程组 （2）判断驻点是否极值点， 若是，说明取得极值情况 又由于 2.条件极值与拉格朗日乘数法 在前面所讨论的极值中，除对自变量给出定义域外，并 无其它条件限制，我们把这一类极值称为无条件极值，而把 对自变量还需附加其他条件的极值问题称为条件极值。条件 条件极值问题有如下两种解法。 方法1 例4 解 由一元函数极值存在的必要条件，得 所以 方法2 （拉格朗日数乘法） 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。 至于如何确定所求得的点是否为极值点，是极大值点还 是极小值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。 例5 解 作辅助函数 令 由前三式，得 即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大。 引例：一个小乡村里的惟一商店有 两种牌子的果汁，当地牌子的进价每瓶3元，外地牌子 的进价每瓶4元. 店主估计，若当地牌子的每瓶卖x元， 外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出当地牌子的果汁 瓶，外地牌子的果汁 瓶. 问：店 主每天以什么价格卖两种牌子的果汁时，才可获得最大 收益？ 7.1 空间直角坐标系与向量的概念 分析 每天的收益为 上式中，x和y是自变量，R是因变量，因此R是x 和 y 的 函 数， 这 样 一类函数称为二元函数，记作 于是，问题成为研究函数 的 最大值. 自然提出下面的问题： （1）二元函数的定义域怎样表达？图像是什么？ （2）二元函数的极限怎样求？连续性怎样判定？ （3）二元函数的导数怎样求？是否仍然可用导数 来判定其最大值？ 抽象归纳 z y x o 空间直角坐标系的定义： 八个卦限： y x z o I II III IV V VI VII VIII 空间中点的坐标：M(x, y, z). o x z y M P Q R 空间两点的距离公式 M(x, y, z)、O(0，0，0)之间的距离为 z1 M2 z2 y1 M1 x1 x2 x 空间曲面与方程 若曲面S上任意一点的坐标( x, y ,z)都满足方程 F(x, y, z)= 0,而不在曲面S上的点的坐标都不满足方 程F(x, y, z)= 0, 则称 F(x, y, z)= 0 为 曲面 S的方程， 而曲面S称为方程F(x, y, z)= 0的图形. 例 求与两定点M(-1，0，2)，N(3，1，1)距离相 等的点的轨迹方程 . 解 设动点坐标为P( x, y, z), 则有 由两 点间距离公式，得 化简得轨迹方程为 4x+y-z-3=0. 问：在例中，所求的轨迹是的几何形象是什么？ 归纳：空间平面的方程： 其 中A、B、C、D都是常数，且A、B、C不全为0. 讨论：空间