第七章微分方程.pptVIP

* 第七章 微分方程 §1 微分方程的基本概念 则它满足: 1.引入 解 由(1)得 一条曲线过点 例1 , 且在该曲线上任一点 处的切线的斜率为 , 求这条曲线的 方程. 设所求曲线的方程为: (1) (2) 由(2)得 即 所求曲线的方程为： 2.基本概念 微分方程: 常微分方程: 偏微分方程: 未知函数为一元函数的方程. 含有未知函数的导数或微分的方程. 未知函数为多元函数的方程. 微分方程中所含未知函数的导数或微分的最高阶数. 微分方程的阶: 例如 一阶 三阶 四阶 3.微分方程的解 (1) 阶微分方程的形式： 若由(1)可以解出最高阶导数， 则(1)式变为 (2) 以后讨论的微分方程都是： 已解出最高阶导数 或能解出最高阶导数的方程， 并且右端函数 在所讨论的范围内连续。 说明 满足微分方程(1),即 则称函数 (1) 若函数 定义 为微分方程(1)的解. 4.解的形式 (1)通解与特解 如果微分方程的解中含有任意常数,且 其中独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称这个解为该方程的通解. 不含任意常数的解称为特解. 例 通解 特解 (2)显式解与隐式解 以显函数形式表示的解称为显式解. 以隐函数形式表示的解称为隐式解. 显式解 隐式解 或 例 5、初值问题 为了确定任意常数， 还需要求解满足一定 的条件。 通常要求的条件是： 对于一阶方程， 或记为 通常要求的条件是： 对于二阶方程， 或记为 初始条件 求微分方程 满足初始条件 的特解 问题： 记为 称为一阶微分方程的初值问题。 类似地， 称为二阶微分方程的初值问题。 问题： (2) (3) 定义 微分方程的解的图形是一条曲线， 称为该微分方程的积分曲线。 初值问题(2)的几何意义： 求微分方程 的那条积分曲线。 初值问题(3)的几何意义： 求微分方程 的那条积分曲线。 且在该点处的切线的斜率为 过点 过点 例2 验证： 函数 是微分方程 的解。 证 按定义，得： 函数 是微分方程 的解。 说明 上面已验证： 函数 是微分方程 的解。 是微分方程 的通解。 它含有两个任意常数。 任意常数的个数 方程的阶数 例3 已知函数 是微分方程 的通解， 求满足初始条件 的特解。