第七节方向导数与梯度.pptVIP

= = = ( ) = ( ) = ( ) = = 例6 求函数 在点 沿曲线 在该点的法线 （它与 轴正向夹角为锐角） 的方向导数。 解 在点 曲线 即 令 （ ） ， 在点 （ ） ， （ ） （ ， ） （ ， ） （ ） 例7 设函数 有连续的偏导数， 且在点 的两个偏导数分别是 则 在点 增加最快的方向是 在点 减少最快的方向是 增加率是 减少率是 ， ； . ， 例7 设函数 有连续的偏导数， 且在点 的两个偏导数分别是 则 在点 增加最快的方向是 在点 减少最快的方向是 增加率是 减少率是 ， ； . ， 例8 设函数 对各变元有连续的 则 偏导数， 例8 设函数 对各变元有连续的 则 偏导数， 例9 求函数 在点 处的梯度及最大方向导数. 解 在点 在点 沿梯度方向的方向导数最大, 且其值等于该点的梯度的模 在点 的最大方向导数为 作 业 P108, 1-3,6-8,10 * 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度 设l是xOy平面上以 为始点的一条射线， 一、方向导数 射线l的参数方程为 是与l同方向的单位向量. 设函数z=f(x,y)在点 的某个邻域 内 有定义， 在射线l上任取另一点 且 , 则 = 如果极限 存在， 则称此极限值为函数 即 方向导数 就是函数f(x,y)在点 处沿方向 l 的变化率. 若函数f(x,y)在点 的偏导数存在， ,则按定义得 注 = = ,则 反例： (0,0) (t,0) = = = = 1 按定义得 ： 但是， = 不存在 反之， 若 则 不一定存在. 存在， 那么， 这就是说， 下面定理就回答了这个问题。 定理 如果函数 f(x,y)在点 可微，那么函数在该点沿任一方向 l 的方向导数都存在，且有 其中 是方向 l 的方向余弦. 证: 按定义得 点 在以 为始点的射线 l 上时，应有 = = = 且 按定义得： 例1 求函数 在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,?1)的方向的方向导数. 设方向 l 为向量 的方向， 解: = = ， = = 与 l 同向的单位向量为 所求方向导数为 ， = = ， 对于三元函数f(x,y,z)来说，它在空间一点 沿方向 的方向导数定义为 如果函数f(x,y,z)在点 可微，那么它在该点沿着任一方向 的 方向导数都存在，且 = 例2 求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向l的方向 导数，其中l的方向角分别为 解: = = = 又 = = = = 二、梯度 设函数 在平面区域 具有一阶连续偏导数, 则对于每一点 都可定出一个向量 这个向量称为函数 在点 的梯度， ，即 或 记作 内 或 Nabla算子 向量微分算子 ( 二维 ) 如果函数f(x,y)在点 可微， 是与方向 l 同向的单位向量，则 此时， 的值最大； 即 方向导数 取得最大值， 其值为 注： 梯度也可这样定义 它的方向是方向导数取到 最大值的方向， 它的模是方向导数的最大值。 梯度是这样一个向量： z=f(x,y)在几何上表示一个曲面，这曲面被平面z=c(c是常数)所截得的曲线L的方程为 它在xOy平面直角坐标系中的方程为 这条曲线L在xOy平面上的 投影是一条平面曲线 对于曲线 上的一切点，函数z=f(x,y)的函数值都是c， 所以我们称平面曲线 为函数 z=f(x,y) 的等值线. 若 不同时为零，则等值线f(x,y)=c上任一点 处的一个单位法向量为 而沿这个方向的方向导数 就等于 梯度 的方向与等值线在这点的一个 法线方向相同， 这表明: 梯度是这样一个向量： 说 明 函数在一点的梯度也可这样定义 它的方向与等值线在这点的 且从数值较低的等值线指向 一个法线方向相同， 数值较高的等值线； 它的模等于函数沿这个法线 方向的方向导数. 类似地， ，即 或 记作