第七节拉普拉斯定理行列式的乘法.pptVIP

* 第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法 一、拉普照拉斯定理 定义1 在n阶行列式D= 中任取K行、K列，位于这些行、 列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的 一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来 的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的 第 行和第 列，这里 ，我们把 称为S的代数余子式。 定理1(拉普拉斯定理) 在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1≤Kn),由这K行(列)元素构成的K阶 子式(共有 个)与它们的代数余子式 的乘积之和等于行列式D.　 即D= 为某K个行构成的K阶子式; 分别是它们的代数余子式. 例1 把行列式 按第1,2两行展开. 解: 由第1,2两行可以得到 =6个2阶子式: 因为 所以只需求出 的代数余子式 于是 二 行列式的乘法公式 定理2 两个n阶行列式 的乘积等于一个n阶行列式 其中 是 的第i行元素与 的第j列对应元素的乘积之和, 即 证明: 作2n阶行列式 利用拉普拉斯定理把 按前n行展开.由于 的前n 行中 除了左上角的n阶子式 之外,其余子式全为零,所以 下面我们来证 .为此,对于I=1,2,…,n,将 的 第n+1行的 倍,第n+2行的 倍,…,第2n行的 倍 加到第i行,得 其中 把上 面的行列式按前n行展开,由拉普拉斯定理,得 *