第三章微分运动和速度.pptVIP

第3章 微分运动和速度 §3.1 微分关系 §3.2 雅克比矩阵 由例题可知： 刚体或坐标系的微分运动包含微分移动矢量和微分转动矢量。前者由沿三个坐标轴的微分移动组成；后者由绕三轴的微分转动组成。雅克比矩阵的构造：一、矢量积分法；二、微分变化法。 3 SCARA四自由度机器人的连杆速度及雅可比矩阵 §3.3 坐标系的微分运动 本次课的内容：●坐标系之间的微分变化●机器人及机器人手坐标系的微分变化●雅克比矩阵的计算●建立雅克比矩阵和微分算子之间的关联●雅克比矩阵求逆 举例说明： 简单的旋转机器人和斯坦福机械手臂 区别：构型不同 结果：要产生类似（相同）的机械手速度，所要求的关 节速度会有所不同。由此可知： 对于上述的任何一种机器人，手臂是否能够完全地伸展 以及能否指向任意方位，都需要将其转化为不同的关节 速度从而产生相同的手的速度。 我们可以通过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的 联系，如下所示： 习题 1. 假设手坐标系的位姿用如下的伴随矩阵来表示。若绕Z轴做0.15弧度的微分旋转，再做[0.1，0.1，0.3]的微分平移，思考这样的微分运动将产生怎样的影响，并求出手的新位置。 5. 给定机器人的手坐标系和相应的雅克比矩阵。对于给定关节的微分变化，计算手坐标系的变化、新位置和相应的△。 解： 完毕 解： 3.4 坐标系之间的微分变化 前面介绍的微分算子 是相对于固定参考坐标系来说的，同样的，我们可以定义另外一个微分算子，是相对于当前坐标系的，这样使得可以在该坐标系（当前）中计算同样的变换。 由于是相对于当前坐标系的，必须用右乘该坐标系的。如下式所示： 因此，上式可以用来计算相对于本身坐标系的微分算子 。将上式矩阵相乘并加以简化，得到的结果如下： 应注意， 看上去如同 矩阵，但所有元素都是相对于当前坐标系的，这些元素可从以上矩阵相乘的结果求得，结果归纳如下： 例： 对如下的坐标系B，绕y轴做0.1弧度的微分转动，然后微分平移[0.1，0，0.2]，求微分变换的结果。 解： 举例说明如何求得相对于本身坐标系的微分算子，回忆下面的例题（上节课出现过）： 现在求出相对于本身坐标系的微分算子： 由给定的信息中可以得到以下向量，用来计算向量 公式 代入可得： 3.5 机器人及机器人手坐标系的微分运动 前面介绍的都是坐标系的变换结果，而不涉及变换是如何实现的。现在我们就研究一下机器人手坐标系的变化是如何由机器人的运动转换来的。 我们要做的就是找出机器人关节的微分运动是如何与手坐标系的微分运动关联的，尤其是与dT的关系。 这种关系取决于： 机器人的构型和设计的函数； 机器人即时位姿的函数。 机器人手沿x,y,z轴的微分运动 机器人手绕x,y,z轴的微分旋转 关节的微分运动 雅克比矩阵 3.8 雅克比矩阵的计算 a、雅克比矩阵的每一个元素是对应的运动学方程对其中一个变量的导数 雅克比矩阵的含义： b、[D]中的第一个元素是dx，它表示第一个运动学方程必须沿x轴的运动，当然也就是Px。换句话说，Px表示手的坐标系沿x轴的运动，它的导数为dx。同样，dy和dz也是如此。若考虑用 表示的矩阵，对相应的元素Px，Py和Pz求微分就得到dx,dy和dz。 回忆第二章一道例题 用D-H法建立坐标系并求出变化矩阵 求出总变化矩阵： 我们（关心）取简单旋转臂机器人的正动力学方程的最后一列为： 对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有哪个方程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需要用不同的方法对他们进行计算。 事实上，相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵的计算要比相对于第一个坐标系简单的多。因此，我们将用下面的方法进行计算。 将相对于最后一个坐标系的速度方程写成： 此时，意味着，用相同关节的微分运动来左乘最后一个坐标系的雅克比矩阵，则可得到机器人首相对于最后一个坐标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一个坐标系的雅克比矩阵： 方程的微分运动关系可以写成： 假设A1,A2……An的任意组合可以用相应的n,o,a,p矩阵表示，则矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。 如果所考虑的关节i为旋转关节，那么： 如果所考虑的关节i为滑动关节，那么： 例： 例题 3.9 建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联 在讨论过雅可比矩阵和微分算子