第三章数的表示doc.pptVIP

第三章 数的表示 对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。本章主要介绍实数的b进制表示和连分数表示，以及一些基本知识。 第一节 实数的b进制表示法 本节介绍实数的b进制表示法。 定理１ 设b是大于１的整数，则任何正整数a都可以写成 a = akbk ( ak ( 1bk ( 1 ( ( ( a1b ( a 0 的形式，其中ak ( 0，ai（0 ( i ( k）是在0与b ( 1之间唯一确定的整数。 证明 由带余数除法，有整数k，使得 a = q1b ( a0， 0 ( a0 ( b ( 1， q1 ( b， q1 = q2b ( a1， 0 ( a1 ( b ( 1， q2 ( b， ( ( qk ( 1 = qkb ( ak ( 1，0 ( ak ( 1 ( b ( 1，0 qk ( b ( 1， 其中诸ai与qi都是唯一确定的。记qk = ak，则0 ak ( b ( 1，并且 a = q1b ( a0 = (q2b ( a1)b ( a0 = q2b2 ( a1b ( a0 = (q3b ( a2)b2 ( a1b ( a0 = q3b3 ( a2b2 ( a1b ( a0 = ( = akbk ( ak ( 1bk ( 1 ( ( ( a1b ( a0 。 证毕。 定理２ 设b是大于1的整数，则任何小于1的正实数(都可以写成 ( =，0 ( ai ( b ( 1，i ( 1。 (1) 如果对于任意的正整数m，都有某个n m，使得an ( b ( 1，(1)是唯一的。 证明 记a1 = [b(]，则 0 ( a1 ( b ( 1。 记(1 = b( ( a1，则0 ( (1 1，并且 ( =。 如果(1 = 0，则定理得证。如果0 (1 1， (1 =，0a2 ( b ( 1，0 ( (2 1。 将这样的过程进行k次之后，我们得到 ( =， (2) 其中0 ( ai ( b ( 1（0 ( i ( k），0 ( (k 1。如果(k = 0，则定理得证。如果总是(k ( 0（k ( 1），不断进行以上过程，我们就得到了一个无穷级数 ，0 ( ai ( b ( 1，i ( 1。 因为 (0（k((）， 所以，由式(2)可知 ( =。 下面证明式(1)的唯一性。设 ( =，0ai, ci ( b ( 1，i ( 1。 (3) 此时，若有正整数k，使得ai = ci ，（1 ( i ( k ( 1），ak ( ck，那么，不妨设ak ck，于是，由式(3)得到 。 (4) 显然 。 另一方面，由式(3)，有 ， 在上式中，当且仅当 ai = b ( 1，ci = 0或ci = b ( 1，ai = 0（i ( k ( 1） (5) 时等号成立。因此，若使式(4)成立，必是式(5)成立。这说明，在定理的假设条件下，表达式(1)是唯一的。证毕。 定理３ 设b是大于1的整数，则任何正实数(都可以唯一地写成 ( =，0 ( ai ( b ( 1，i ( k (6) 的形式，其中，对于任何正整数m，都存在n m，使得a ( n b ( 1。 证明 留做习题。 定义１ 设(是正实数，若式(6)成立，则记为 ( = (akak ( 1(a1a0.a (1a ( 2()b ， (7) 并称它是(的b进制表示，称ai（i ( k）是(的b进制表示的位数码。当b = 10时，就是通常的十进制记数法，此时常略去式(7)中的括号和下标b = 10。 此外，称(akak ( 1(a1a0)b 与 (0(a(1a (2()b 分别是(的b进制表示的整数部分和小数部分。 定义２ 设(是实数，0 ( ( ( 1，(b进制表示是 ( = (0(c1c2c3()b ， (8) 则称它是一个b进制小数。若存在整数s ( 0，t 0，使得 cs + i = cs + i + kt，i = 1, 2, (, t，k = 0, 1, 2, ( (9) (8)中的b进制小数是循环小数，并记作 ( (((b 。 若使式(9)成立的最小的s和t分别是s0和t0，则称{}是循环节；若s0 = 0，则称式(8)中的小数是（b进制）纯循环小数。 下面，我们讨论数的十进制表示的小数的循环性。为方便计，将使用记号表示整数(anan ( 1(a1a0(10，用0.a1a2(表示小数(0.a1a2((10。 定理４ 循环小数表示有理数。 证明 不妨只考察小于1的正循环小数。设有循环小数 ( ( ((