第三章连续时间系统的复频域分析.pptVIP

时延（移位）特性表明，波形在时间轴上向右平移 的不同。 ， 其拉氏变换应乘以移位因子 。适用时延特性的时延 函数是 ，而不是 。要注意区 分 、 、 、 例3-4 如图3-6所示， 求象函数。 1 1 0 2 -1 解：已知 其中 （利用线性） 则 图3.2-1 （时延） 3、频率平移（域） 则 证 为复常数 若 例3.2-2 已知 解 方法1 ，求象函数。 方法2 4、尺度变换 若 证 其中 L ，则 令 L 代入上式得 已知 解 方法1先频移后尺度 ，求 方法2 先尺度再频移 的象函数。 例3-6 * 第三章 连续时间系统的复频域分析 ——拉普拉斯变换 以傅氏变换为基础的频域分析法，将时域的卷积运算转 应；另外，其反变换的积分计算也不易。 初始状态在变换式中无法体现，只能求系统的零状态响 项处理不方便；尤其用傅氏变换分析系统响应时，系统 件的常用信号如等，虽然其傅氏变换存在，但带有冲激 际问题时有其独到之处。不过对一些不满足绝对可积条 谐波分量、系统的频率响应、系统带宽、波形失真等实 变为频域的代数运算，简化了运算；特别是在分析信号 而拉普拉斯变换的优点一是对信号要求不高,一般指数阶 氏变换(英文缩写为LT)。 续LTI系统的重要数学工具。 拉普拉斯变换也简称为拉 相对简单的反变换方法。所以拉普拉斯变换也是分析连 求系統的零输入响应（初始条件“自动”引入）；三是有 转变为代数运算，而且既能求系统的零状态响应，也能 信号的变换存在且简单；二是不但能将时域的卷积运算 §3.1拉普拉斯变换 果信号的拉氏变换。因果信号的拉氏变换也称单边拉氏变 3.1 .1、单边拉氏变换 1、单边拉氏变换定义 考虑到一般实际应用的信号多为因果信号，我们先讨论因 换。 因果信号的傅氏正、反变换为 傅氏变换对于一些指数阶的函数处理不方便,主要原因是 式中 一个收敛速度足够快的函数。即有 这类函数不收敛,例如阶跃函数 。为了使函数收敛， 在进行变换时让原函数 乘以 ，使得 是 件。 为收敛（衰减）因子，使 满足绝对可积条 令 的傅氏反变换为 则 ， 等式两边同乘 可表示为 不是 ， 里，由此得到 的函数，可放入积分号 （3-2） 代入上式且积分上、下限也做相应 已知 ， ，选定 改变，则可写作 为常量， 所以， （3-5） 因为 的作用，(3-2)与 (3-5)式是适合指数阶函数的 变换。 称“单边”变换。将两式重新表示在一起，单边拉氏变换 式中 又由于(3-2)式中的 是 时为零的因果信号，故 定义为 称为复频率， 为象函数， 原函数。 为 L 或 可以用直角坐标的复平面（s平面）表示， 如图3-1所示。 象函数与原函数的关系还可以表示为 L 0 比较傅氏变换、拉氏变换的推导，可知傅氏变换的基本 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体 的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。 傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上 ，拉氏变换的基本信号元是 。不难表明 信号元是 由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。 函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 2、单边拉氏变换收敛区 在一定条件下收敛，即有 收敛区是使 满足可积的 取值范围，或是使 取值范围。 的单边拉氏变换存在的 由拉氏变换式的推导可见，因为 的作用，使得 （3-8） （3-8） 变换的收敛区就确定了 式中 叫做收敛坐标，是实轴上的一个点。穿过 并与虚轴平行的直线叫做收敛边界。收敛轴的右边为收 敛区，收敛区不包括收敛轴。一旦 确定， 借助指数函数衰减可以被压下去。指数阶函数的单边拉 确定。 的 取值与 有关，具体数值由(3-8)式计算。 满足(3-8)式的函数，称为指数阶函数。这类函数若发散， 氏变换一定存在，其收敛区由收敛坐标 拉氏 以 随时间变化的趋势，给出收敛区的大致范围： 是随时间衰减的， ，例如单边指数信号 的 ，其拉氏变换的收敛区如图3-2(a)所 示； 0 收敛区 (a) 区如图3-2 (c)所示。 是随时间不变的， ，例如 、 ， 其拉氏变换的收敛区如图3-2 (b)所示； 幅度是随时 间增长的， ，例如 其拉氏变换的收敛 0 收敛区 (b) 0 收敛区 (c) 图3-2 收敛区示意图 存在，但有冲激项。 因为指数阶函数的单边拉氏变换一定存在，所以一般 当 时，收敛区包含虚轴 ，函数的傅氏变换 当 时收敛区不包含虚轴 ，函数的傅氏变换 当 时，收敛区不包含虚轴 ，函数的傅氏变换 可以不标明收敛区。 不存在； 存在； 二、常用函数的单边拉氏变换 通过求