第三节全微分.pptVIP

*二、全微分在近似计算中的应用 当二元函数z=f(x,y)在点P (x,y)的两个偏导数fx(x,y)、fy(x,y)连续，并且|△x|, |△y|都较小时，就有近似公式 上式也可写为 (1) (2) 因此，我们可以利用全微分： 求出函数的全增量△z 以及函数值的近似值. 注意： 用全微分近似代替全增量时，△x相对于x 越小，△y 相对于y 越小，则全微分dz与全增量△z 的误差 就越小. 例5 有两端封闭的圆柱形金属桶，底面半径为5cm，高为18cm，若要将桶外壁涂上一层厚为0.01cm的油漆，问需要油漆多少？ 设圆柱底面半径为r，高为h,则体积为： 这样，油漆的体积 解： 即为圆柱体积的增量?V，即： [ 近似公式（1）] 例6 计算(1.04)2.02的近似值. 解： 取 x=1,y=2, △x=0.04, △y=0.02 则有 f (1,2) = 1 设函数 f(x,y)=x y, 要计算的值就是函数在 x=1.04,y=2.02时的函数值 f (1.04, 2.02) 例7 求 时的全增量和全微分，并估计误差. 解 作 业 P75,1,2,3,5,6* * 第三节 全 微 分 一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用 一、全微分的概念 上面两式的左端分别叫做二元函数对x和y的偏增量 右端分别叫做二元函数对x和y的偏微分. 固定 同理可得 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义， 为这个邻域内的任意一点，则称这两 点的函数值之差 为函数z=f(x,y)在点 P(x,y) 对应于自变量增量 的全增量 即 ，记作 , 我们希望用一个线性函数来近似代替全增量 ， 为此，引入下面定义。 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数在D内可微. 定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 可表示为 其中A、B不依赖于 而仅与x、y有关， ，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， 并称 为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即： 与一元函数类似,全微分dz是 的线性函数,它与△z只相差一个比 高阶的无穷小,所以也称dz是? z的线性主部. 当 充分小时, 可用全微分 dz 作为函数的全增量△z的近似值. 注意： (1) 当两个自变量x与y同时取得增量△x与△y时， 函数f(x,y)取得的增量是全增量; (2)二元函数f(x,y)的两个自变量x、y所取得的增量△x与△y是相互独立的、任意的,因此 点P (x+△x,y+△y)是点P(x,y)邻域内的任意一点. 下面给出证明。 证 得 定理1(必要条件) 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分， 则该函数在点(x,y)的偏导数必定存在, 且函数z=f(x,y)在点(x,y)全微分为： 证明： 设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分 按定义得： 即 特别地， 则 (*)式仍成立，即 两边同除以 ，得 (*) 令 取极限，得 = = 按定义得： = 同理可证： = 函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分 = 即 证毕。 注意 对于一元函数，有 可微 可导 对于二元函数， 可微 各偏导数存在 即： 各偏导数都存在只是可微的必要条件而不是充分条件. 反例： 按定义，可求得 下面证明： （反证） 则按定义得： 都有 即 由定理1得： 即 另一方面， （#） = = = 这与（#）式矛盾！ 此反例表明： 对于二元函数，“偏导数存在”比“可微” 要弱. 要推出“可微”，仅仅“偏导数存在”还不行， 还需添加其它条件。 添加什么条件？ 这就是下面 定理要回答的问题。 定理2(充分条件) 如果函数z=f(x,y)的偏导数 和 在点(x,y) 连续，则函数z=f(x,y) 在该点可微. 证明 我们只限于讨论在某区域内有定义的函数 （对于偏导函数也是这样） 就暗含了这样的意思： 对于该邻域内的任意一点 有 = = + （拉格朗日中值定理） (1) + [ ] [ ] 由函数极限与无穷小的关系，得 （2） （3