第三节极限的运算法则及存在准则.pptVIP

第三节 极限的运算法则及 存在准则 一、极限的四则运算 二、极限的存在准则 三、两个重要极限 定理2.8 一、极限的四则运算 下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立. 证 定理2.8中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论. 推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有 推论2 设limf(x)存在，则对于正整数k，有 例1 解 例2 解 其中k，l为正整数. 例3 解 例4 解 一般地，设有多项式(有理整函数) 则有 设有理分式函数(有理整函数与有理分式函数统称为有理函数) 即 式(3)与式(4)说明对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用. 例5 解 例6 解 例7 解 例8 解 例9 解 其中m，n为正整数. 二、极限存在准则 准则1(单调有界准则) 单调有界数列必有极限. 下面给出几何解释：在数轴上，对应于单调数列 的点列只能从 开始向一个方向排列，所以只有两种可能情况：或者点列 沿数轴移向无穷远处(此时 发散)；或者点列 无限趋近于某一个定点a(常数)，也就是 以a为极限.现已假定数列是有界的，因此结果只能是后者. 证 证明数列 是单调增加的，按二项式展开，有 例10 比较 与 中相同位置的项，它们的第一、二项相同，从第三项起到第 n+1项的每一项都大于 的对应项，并且在 中还多出最后一个正项，因此有 根据准则1，数列 收敛，将极限值记为e，即 e=2.718 281 828 459 045 . 准则2(夹逼准则) 设有三个数列 满足条件： 证 当nN时，(5)式与(6)式同时成立，又由条件(1)可得 类似地，有关于函数极限的夹逼准则： 设函数f(x)，g(x)，h(x)在点 的某去心邻域内有定义，且满足条件： 三、两个重要极限 重要极限1 其中的两个等号只在x=0时成立. 证 设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作 则sin x =BD，tan x=AC， 这就证明了不等式(7). 从而有 * *