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第九章  微分方程习题 例. 解方程 * * 1、微分方程的定义 2. 线性微分方程和非线性微分方程； 1. n阶微分方程； 2、微分方程的解 1. 隐式解 和 显式解. 2. 通解 和 特解(定解). 3、求解微分方程的步骤： 确定方程的阶数，寻求合适的解法: (1) 一阶方程 (1.2.) 齐次微分方程 (1.1.) 可分离变量方程 (1.3.) 一阶线性微分方程: 微分方程的解为： (2). 二阶常系数方程 共轭实根λ1,2=α±iβ 重实根 λ=－a/2 相异实根λ1≠λ2 λ2+aλ+b=0 通解 特征根 特征方程 Pm(x)=a0xm+a1xm－1+…+am－1x+am为已知m次多项式 Qm(x)=b0xm+b1xm－1+…+bm－1x+bm为待定m次多项式 注 y*=xeμx(Acosωx+Bsinωx) μ±iω是特征根 y*=eμx(Acosωx+Bsinωx) μ±iω不是特征根 f(x)=eμx(Acosωx+Bsinωx) μ,ω,A,B为常数. y*=x2eμxQm(x) μ是重特征根 y*=xeμxQm(x) μ是单特征根 y*=eμxQm(x) μ不是特征根 f(x)=eμxPm(x) μ为常数. 试解函数y*的形式 取试解函数条件 f(x)的类型 表9.2 解: 例. 解方程 解: 例. 解方程 解: 例. 解方程 解: 例 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的 切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 例： 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 *