第九讲世纪的几何与分析I.pptVIP

第九讲 19世纪的几何与分析I 几何学的变革 分析的严格化 几 何 现实空间与思维空间 微分几何 非欧几何 射影几何 统一的几何 公理化方法 微分几何 平面曲线理论17世纪基本完成 微分几何 18世纪的空间曲线、曲面理论 微分几何 欧氏几何 平行公理的研究(公元前3世纪至1800年) 欧氏几何 非欧几何 非欧几何 非欧几何 非欧几何 非欧几何 1854年黎曼(德, 1826-1866)《关于几何基础的假设》 非欧几何 非欧几何 模型与相容性 非欧几何 射影几何 射影几何 综合方法 射影几何 代数方法 射影几何 统一的几何学 1872年克莱因(德, 1849-1925)的《爱尔朗根纲领》 统一的几何学 《爱尔朗根纲领》 几何学的公理化 1899年希尔伯特《几何基础》 分析的严格化 分析的算术化 实数理论 集合论 分析的算术化 分析：关于函数的无穷小分析 问题：第二次数学危机 核心：函数、无穷小 贡献：柯西(法, 1789-1857 ) 《分析教程》(1821) 　　　　　 《无穷小分析教程概论》(1823) 　　　　　 《微分学教程》(1829) 魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897) ε-δ语言 “现代分析之父” 函数 初等函数 算术化 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)定义了导数、连续 1821年柯西(法, 1789-1857)《分析教程》定义了极限、连续、导数 实数理论 1817年波尔查诺(捷, 1781-1848)提出“确界原理” 1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德, 1815-1897)提出“聚点定理” 1821年柯西(法, 1789-1857)提出“收敛准则” 19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理” 1872年海涅(德, 1821-1881)和1895年波莱尔(法, 1871-1956)提出“有限覆盖定理” 实数理论 实数理论 集合论 1874年起康托(德, 1845-1918)一系列论文建立 集合论 第九讲思考题 * 惠更斯(荷, 1629-1695) 1673年惠更斯(荷, 1629-1695)：渐伸线、渐屈线 洛比塔(法, 1661-1704) 1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径 1691年和1692年约翰?伯努利(瑞, 1667-1748) ：曲线的包络 1696年洛比塔(法, 1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论 克莱罗(法, 1713-1765)　 1697年约翰?伯努利(瑞, 1667-1748)提出的测地线问题 1731年克莱罗(法, 1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》：弧长、曲率 1760年欧拉(瑞, 1707-1783) 《关于曲面上曲线的研究》：曲率、绕率，建立了曲面理论 蒙日(法, 1746-1818) 1771年欧拉(瑞, 1707-1783)关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法, 1746-1818)关于可展曲面与直纹面 1795年蒙日(法, 1746-1818) 《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究 蒙日: 1792年任法兰西共和国海军部部长, 签署了处决路易十六的报告书, 1800年任元老院议长, 1808年封爵, 波旁王朝复辟后被革职 1794年组建巴黎综合工科学校 , 1795年设立巴黎高等师范学校 培养一批优秀学生: 泊松、刘维尔、傅里叶、柯西 A+B+C=2π 欧几里得 普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 　勒让德(法, 1752-1833) 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧相交. 勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832) 1733年萨凯里(意, 1667-1733)《欧几里得无懈可击》 1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的几何 1763年，克吕格尔(德, 1739-1812)第一位对平行线公设是否能由其它公理加以证明表示怀疑的数学家 1820年F?鲍约(