第二章导数与微分.pptVIP

* 第二章 导 数 与 微 分 第一节 导 数 的 概 念 一. 两 个 实 例 例1. 求变速直线运动的瞬时速度 设位置函数为 求 越小, 越接近于 令 取极限, 则 = = = 例2.求平面曲线的切线 设有曲线C及C上一点M, 在点M外另取曲线C上一点N, 作割线 MN, 当点N沿曲线C趋向于点M时,如果割线 MN 的极限位置存在(设为MT), 则称直线 MT为曲线C在点M 处的切线. 设曲线 又 是 曲线 上的一点. 设曲线 在 点的切线存在. 根据定义, 要求出曲线 在 点的切线, 只要求出 切线在该点的斜率 为此,在点 外另取曲线 上一点 , 于是, . 割线 的斜率为 o o 令 沿曲线 趋向于 , 即: 取极限, 则 即 二. 导数的定义 设函数 在 点的某邻域 内有定义, 在该邻域内,当自变量 在 点 有增量 时, 相应地, 函数 有增量 如果极限 存在, 则称函数 在点 处可导, 并称该极限值为函数 在点 处的导数, 记为 ,即 函数 在点 处的导数也记为: 注: (1) (2) (3) (2) 如果极限 不存在， 则称函数 在点 处不可导。 所以，按定义有： 若函数 在开区间 内的每一点 都可导， 则称函数 在开区间 内可导. 此时，对于 开区间 内的每一点 ， 都对应着 在该点的 导数 ， 这样， 是区间 上的函数， 我们 称它为函数 的导函数， 即 函数 的导函数记为 容易知道 [ ] = 在不会造成混淆的情况下，导函数也简称为导数。 例3 证明下面导数公式： 证 设 在 处 可导， 且 即 (2) 证 设 ( i ) 即 = = = = 在 处可导， 且 即 ( ii ) 即 = = = = = 在 处可导， 且 即 一般地有， （此公式以后补证） (3) 证 设 = = = = = 在 处可导， 且 即 类似可得： 证 设 = = = = = = 特别地， 在 处可导， 且 即 证 设 = = = = 特别地， = = = = 在 处可导， 且 即 例4 考察函数 在 处的可导性。 解 = = = = = = = = 不存在 在 处不可导。 定义 若 存在， 则称该极限值 为 在 处的右导数，记为 ，即 = 类似地，可定义 在 处的左导数，记为 即 = 若 在 处的右导数存在，则称 在 右可导。 （左导数） （左可导） 处 易知： 在 处可导 在 处左，右可导 且 = 定义 若函数 在开区间 内可导， 且 在 处右可导，在 处左可导， 则称函数 在闭区间 上可导。 解 = = 不存在 在 处不可导。 例5 考察函数 在 处的可导性。 例6 考察函数 在 处的可导性。 解 = = = 在 处不可导。 注： 虽然 在 处不可导， 但是 在 处的切线却是存在的 即 轴。 二. 导数的几何意义 如果函数 在 处可导, 则它在 处的导数 在几何上就表示曲线 在点 处的切线的斜率. 例7 求等边双曲线 在点 处的切线方程 和法线方程。 解 = = 在点 处的切线方程为: 即 法线方程为: 即 三. 可导与连续的关系 定理 若函数 在 处可导, 则它在 处连续. 证 在 处任给 一个增量 相应地, 函数 有增量 在 处可导 （当 在 处连续 ） 注： 反之不然. 例如: 在 处连续, 但它在 处不可导. 四. 导数在其它学科中的含义 ----变化率 速度 线密度 电流强度 作 业: P86: 习题2-1 4-6,9-11，13，15-19 补充题: 若函数 在 处连续, 且 存在,试证: 在 处可导. *