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第二章 常用统计量之二：差异量数 人文院：滕瀚 hanteng99@163.com 问题：假设有两组数据 甲组为8，9，10，13，13，14，14，15，其均数为12； 乙组为3，5，5，7，9，13，21，33，其均数也为12。 试问这两列数据的分布一样吗？为什么？哪一组平均数的代表性更好一些呢？ 一、方差与标准差 （一）离均差（d）和平均差（AD） d= AD= d:每个数据（ ）与其平均数（ ）的差距大小或离开平均数的距离（ ），即每个数据离均差（简称离差，源于英文deviation from mean）的大小 AD是次数分布中所有原始数据与平均数距离的绝对值的平均。 象表示一列数据一般水平时需将各个数据进行平均一样，表示一列数据离均差的一般水平亦需将各个离均差进行平均。这是因为一列数据的离均差有大有小，而作为该列数据差异水平大小的一个最好代表值是离均差的平均数，即有 为了使离均差之和不为0，我们可采用代数的处理方法，对每一个离均差进行平方后再求和，即先求离均差的平方，即 ；再将所有离均差平方相加求和，即 ，详见第4栏和第7栏；最后再求离均差平方算术平均数，即为方差 方差是对一列数据的平均差距进行了平方，要还原为一列数据的平均差距则需开平方根，标准差（Standard Deviation）就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。样本标准差用S或SD表示。 方差（variance）：离均差平方和的算术平均数，符号为S 2或SD 2（样本方差）。方差又称变异数，有时用符号V（Variation）表示，或称均方差、均方 （Mean Square Deviation） 。 标准差（standard deviation）：方差的正的平方根，即离均差平方和求算术平均数后的正的平方根，符号为S或SD。 总体方差 总体标准差 总体方差的无偏估计量 总体标准差的无偏估计量 方差或标准差能够很好地度量数据的变异性，如果数据越集中，方差或标准差的值就越小；反之，数据越分散，方差或标准差的值就越大。 值得注意的是这种比较需在平均数相等的条件才能进行，若两列数据的平均数不同，尤其平均数相差悬殊时则不能进行这种比较，需要其他的方法进行比较。 （二）方差和标准差的分析方法 方差与标准差的计算有多种方法，如定义式，原始数据式和加权式等计算方法。 1、定义式 根据上述方差和标准差定义进行的计算，即有 2、计算式 一方面是因为其计算过程较多、较繁杂，另一方面则因为平均数的计算出现小数时，离均差及离均差平方的计算过程需四舍五入，由此会损失一部分数据信息，造成计算结果的欠准确。计算式是直接利用原始数据计算方差和标准差的方法，它不仅可以克服这些缺陷，而且也方便计算机编程，其公式为 3、加权式（次数分布整理之后的方差计算） 例3-：某班32名学生的创造性思维测验成绩如表4-3所示，试问该班学生创造性思维测验分数的平均差距是多少？或标准差是多少？ 4、方差和标准差的组合 若已知各组数据的方差或标准差计算总方差或总标准差，则需要进行方差或标准差的组合，其公式为 例：有四个学习小组参加英语竞赛，经初步统计四个学习小组竞赛成绩统计量如表3-3所示，试问其总平均数和总标准差是多少？ （三）方差与标准差的性质 标准差的应用：异常值的取舍 在一个正态分布中，平均数上下一定的标准差处，包含有确定百分数的数据个数。根据这个原理，在整理数据时： 数据较多时： 常采用三个标准差法则，进行取舍数据，即如果有一个数据的取值落在平均数加减三个标准差之外，则在整理数据时，可将此数据作为异常值加以取舍。、 二、差异系数 ·标准差使用前提：测量变量同质且样本间均值相同（或差异不大）。 问题：我们常常会遇到：(1)两个或两个以上样本所测的特质不同；(2)两个或两个以上样本所测的特质相同，但样本间水平相差较大，这时不能用绝对差异量来比较不同样本的离散程度，而应使用相对差异量数。 （一）差异系数（Coefficient of Variation）又叫变异系数、标准差系数，是一种相对差异量，常用CV或CVs表示，其计算公式：CV=(S/X)×100%。 S：样本标准差