第二章群的基本知识.pptVIP

(4) 若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx (xg)的h个元中，没有相同的元存在。 (5) 若y是gx (xg)的元，那么， gy (yg)与 gx (xg)是相同的。 Lagrange定理：子群g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。 证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g, A1g无共同元素，若g+A1g+ A2g能遍举G，则H/h=3。 因为是有限群，总有G = g+A1g+ A2g?+ Al-1g ∴ H/h=i (i为子群的指数） 例：证明：若群的阶为素数，则该群必为循环群。 证明：设群的阶为h，若某元素A：Ar=E， 若 rh，则 h/r = 整数，但h为素数，故必有r=h。 注意：陪集并不构成群。 2.2.3 共厄元素和类 定义：A, B, x?G ，若xAx-1=B，则称B是A的共轭元素（conjuate）。 性质：1）共厄关系是相互的 ∵ 2）共厄关系具有传递性 A, B, C?G ，若A, B分别与C共厄， 即 则A和B共厄： 由 ∴ 3）任何元素与自身共厄： 定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。 （相似变换的 x( )x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的，x要取遍整个G） ∴ 只要给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。 单位元素单独成一类，这是因为xEx-1=E 普遍地，若A1, A2, ?Ai, ?Aj, ?An是一类，对任一x?G， xAix-1必定在A1, ?An内，但它不构成群。 任意x 例：三点对称群有三个类： 1）E自成一类，因为它与所有元素可对易 2）D、F组成一类，因 3）A，B，C组成一类，因为： 性质：1）单位元素E自成一类 2）Abel群的每个元素自成一类 ∵ 3）同一类中的所有元素都具有相同的级。 （n是A元素的级，若An=E） 证：若An=E ，则 4）群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除： 即 h/l = 整数。 5）不同的类中没有共同的元 6）除单位元这一类外，其余各类都不是子群 （因为无单位元） 7）对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的迹。 8）若C是群G的一个类，C?是C中所有元的逆的集合，那么， C?也是群G的一个类，称为C的逆类。 定理：若g为G的子群，A为G的任意元素，则AgA-1也是一个子群，称作群g的共轭子群（ A 可以?g ）。 证：H1, H2 ?g ，作 ， 1）封闭性： 2）单位元素： 3）逆元： 由于g中必有 ， ∴ g和AgA-1至少有一个单位元是共同的 2.2.4 共轭子群（conjugate subgroup） 和正规子群（不变子群：nomal divisor） 例： 其中，E，B构成子群 ，且： ∴ 构成子群 指包含有相同的元素 定义：g是G的子群，对任意Ai?G, 恒有AigAi-1=g，则g称为G的不变子群或正规子群（即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等）。 例： 是它的不变子群，这是因为： 同理 例： 其中，E，D，F构成正规子群 阿贝尔群的所有子群都是不变子群。 指数为2的子群一定是不变子群。 2.2.5 同构（isomorphism）和同态(homomorphism） 定义：若群G?和G的所有元素间均按某种规